Encontre todos os zeros para as funções polinomiais a seguir:
2 x^3-5 x^2-2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os zeros da função polinomial
2x^3 - 5x^2 - 2x + 2
Esse problema usa o Teorema Fundamental da Álgebra (todo polinômio de grau n tem n raízes no corpo complexo), mas aqui buscamos as raízes reais. Vamos aplicar o Teste de Raízes Racionais para achar uma raiz simples, usar divisão sintética para fatorar o polinômio e, por fim, resolver a equação quadrática resultante com a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Pelo Teste de Raízes Racionais, os candidatos são da forma pmdc, onde d divide o termo constante 2 e c divide o coeficiente líder 2. Assim, as possibilidades são
pm1,;pm2,;pm12
Testando x=tfrac12:
2l(tfrac12r)^3 - 5l(tfrac12r)^2 - 2l(tfrac12r) + 2 = tfrac28 - tfrac54 - 1 + 2 = tfrac14 - tfrac54 +1 =0
Logo, x=tfrac12 é raiz.

Passo 3

Para extrair esse fator, fazemos divisão sintética de 2x^3 - 5x^2 - 2x + 2 por x - tfrac12. Colocando os coeficientes
2,;-5,;-2,;2
e usando tfrac12, o quociente é o polinômio quadrático
2x^2 - 4x - 4

Passo 4

Agora resolvemos a equação
2x^2 - 4x - 4 = 0
com a fórmula de Bhaskara. Primeiro dividimos tudo por 2:
x^2 - 2x - 2 = 0
Aplicando
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-2)2 = 2 pm raiz4 + 82 = 2 pm raiz122 = 1 pm raiz3

Resposta

As raízes reais de 2x^3 - 5x^2 - 2x + 2 são
x = tfrac12, x = 1 + raiz3, x = 1 - raiz3

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