Resolva as equações polinomiais:
x^3-19 x-30=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial de terceiro grau
x^3 - 19x - 30 = 0
O conteúdo aqui é encontrar raízes de polinômios usando o Teorema das Raízes Racionais (ou Teorema de Gauss) e depois fatorar o polinômio e resolver a equação quadrática remanescente.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes da forma tfracpq são os divisores de p, termo independente, divididos pelos divisores de q, coeficiente líder. Aqui p=pm1,pm2,pm3,pm5,pm6,pm10,pm15,pm30 e q=pm1. Logo as possíveis raízes inteiras são
pm1,pm2,pm3,pm5,pm6,pm10,pm15,pm30
Testando x=5:
5^3 - 19cdot5 - 30 =125 -95 -30 =0,
logo x=5 é raiz.

Passo 3

Para fatorar o polinômio, dividimos x^3-19x-30 por (x-5) usando divisão sintética:
Coeficientes: 1,;0,;-19,;-30
r|rrrr 5 & 1 & 0 & -19 & -30hline & & 5 & 25 & 30hline & 1 & 5 & 6 & 0
O resto é zero e o quociente é o polinômio de grau 2
x^2 + 5x + 6
Assim
x^3-19x-30 = (x-5)(x^2+5x+6)

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2+5x+6=0
Fatorando em soma e produto: dois números que somam 5 e multiplicam 6 são 2 e 3. Portanto
x^2+5x+6=(x+2)(x+3),
e as raízes são
x=-2, x=-3

Resposta

As soluções de x^3-19x-30=0 são
x=5, x=-2, x=-3

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