Sejam
e
conjuntos tais que
.
(a) Se
é finito, então
é finito.
(b) Se
é infinito, então
é infinito.
(c) Se
é enumerável, então
é enumerável.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos dois conjuntos
e
com
e pede para analisar três afirmações sobre finitude, infinitude e enumerabilidade. Vamos usar as definições:
- Um conjunto é finito se existe bijeção com
para algum . - Um conjunto é infinito se não é finito.
- Um conjunto é enumerável se é finito ou equipotente a
(isto é, finito ou numerável infinito).
Passo 2
Prova de (a): “Se
é finito, então
é finito.”
Como é finito, existe bijeção
Como
Como
, podemos considerar a restrição
que é injetora. Mas qualquer subconjunto de
também é finito (pois tem no máximo
elementos). Logo
é finito.
Passo 3
Prova de (b): “Se
é infinito, então
é infinito.”
Usamos a contrapositive: se fosse finito, então por (a)
seria finito, o que contradiz a hipótese de
infinito. Portanto
não pode ser finito, ou seja,
é infinito.
Usamos a contrapositive: se
Passo 4
Prova de (c): “Se
é enumerável, então
é enumerável.”
Como é enumerável, há dois casos:
Como
Caso 1:
é finito. Então de novo
implica
finito, logo
é enumerável.
Caso 2:
é equipotente a
. Então existe enumeração bijetora
de
. Para enumerar
, basta percorrer essa sequência e anotar, na ordem em que aparecem, só os
que pertencem a
. Assim obtemos uma lista (finita ou infinita) cujo conjunto de termos é exatamente
. Logo
é enumerável.
Resposta
(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.