Sejam A e B conjuntos tais que A subseteq B.
(a) Se B é finito, então A é finito.
(b) Se A é infinito, então B é infinito.
(c) Se B é enumerável, então A é enumerável.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois conjuntos A e B com Asubseteq B e pede para analisar três afirmações sobre finitude, infinitude e enumerabilidade. Vamos usar as definições:
  1. Um conjunto é finito se existe bijeção com 1,2,dots,n para algum ninN.
  2. Um conjunto é infinito se não é finito.
  3. Um conjunto é enumerável se é finito ou equipotente a N (isto é, finito ou numerável infinito).

Passo 2

Prova de (a): “Se B é finito, então A é finito.”
Como B é finito, existe bijeção
fcolon B longrightarrow 1,2,dots,n
Como Asubseteq B, podemos considerar a restrição
f|Acolon A longrightarrow 1,2,dots,n,
que é injetora. Mas qualquer subconjunto de 1,2,dots,n também é finito (pois tem no máximo n elementos). Logo A é finito.

Passo 3

Prova de (b): “Se A é infinito, então B é infinito.”
Usamos a contrapositive: se B fosse finito, então por (a) A seria finito, o que contradiz a hipótese de A infinito. Portanto B não pode ser finito, ou seja, B é infinito.

Passo 4

Prova de (c): “Se B é enumerável, então A é enumerável.”
Como B é enumerável, há dois casos:
Caso 1: B é finito. Então de novo Asubseteq B implica A finito, logo A é enumerável.
Caso 2: B é equipotente a N. Então existe enumeração bijetora
l(b1,b2,b3,dotsr) de B. Para enumerar Asubseteq B, basta percorrer essa sequência e anotar, na ordem em que aparecem, só os bk que pertencem a A. Assim obtemos uma lista (finita ou infinita) cujo conjunto de termos é exatamente A. Logo A é enumerável.

Resposta

(a) Verdadeiro.
(b) Verdadeiro.
(c) Verdadeiro.

Exercícios relacionados