Assumindo a validade do teorema fundamental da álgebra. prove o primeiro corolário do mesmo.

Passo 1

O enunciado diz que, assumindo o Teorema Fundamental da Álgebra (que garante que todo polinômio não-constante em C[x] tem pelo menos uma raiz em C), queremos provar o corolário: “todo polinômio de grau n em C[x] se decompõe em n fatores lineares (contando multiplicidades)”. Para isso vamos usar o princípio de indução no grau do polinômio e o algoritmo da divisão em C[x].

Passo 2

Base da indução ( n=1). Se P(x) tem grau 1, então P(x)=a1x+a0 com a1neq0. Colocando alpha=-a0/a1, temos
P(x)=a1l(x-alphar),
ou seja, já está escrito como um único fator linear.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que todo polinômio em C[x] de grau <= n-1 se decompõe em fatores lineares. Seja P(x) um polinômio de grau n.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe alpha1inC tal que
P(alpha1)=0
Pelo algoritmo da divisão, podemos escrever
P(x) = (x-alpha1),Q(x) + r,
com Q(x)inC[x] e rinC. Avaliando em x=alpha1 obtemos 0=P(alpha1)=r, logo
P(x)=(x-alpha1),Q(x),
e deg Q=n-1.

Passo 4

Como deg Q=n-1, pela hipótese de indução Q se decompõe em n-1 fatores lineares: existem alpha2,dots,alphaninC e ainCsetminus0 tais que
Q(x)=a,(x-alpha2)(x-alpha3)cdots(x-alphan)
Substituindo em P(x)=(x-alpha1),Q(x), obtemos
P(x) = a,(x-alpha1)(x-alpha2)cdots(x-alphan)

Resposta

Todo polinômio P(x) de grau n em C[x] pode ser escrito como
P(x)=a,(x-alpha1)(x-alpha2)cdots(x-alphan),
com aneq0 e alpha1,dots,alphaninC.

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