Assumindo a validade do teorema fundamental da álgebra. prove o primeiro corolário do mesmo.
Passo 1
O enunciado diz que, assumindo o Teorema Fundamental da Álgebra (que garante que todo polinômio não-constante em
tem pelo menos uma raiz em
), queremos provar o corolário: “todo polinômio de grau
em
se decompõe em
fatores lineares (contando multiplicidades)”. Para isso vamos usar o princípio de indução no grau do polinômio e o algoritmo da divisão em
.
Passo 2
Base da indução (
). Se
tem grau
, então
com
. Colocando
, temos
ou seja, já está escrito como um único fator linear.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que todo polinômio em
de grau
se decompõe em fatores lineares. Seja
um polinômio de grau
.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe tal que
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra existe
Pelo algoritmo da divisão, podemos escrever
com
e
. Avaliando em
obtemos
, logo
e
.
Passo 4
Como
, pela hipótese de indução
se decompõe em
fatores lineares: existem
e
tais que
Substituindo em
, obtemos
Resposta
Todo polinômio
de grau
em
pode ser escrito como
com
e
.