Encontre todos os zeros para as funções polinomiais a seguir:
3 x^5-2 x^4-9 x^3+6 x^2-12 x+8

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes do polinômio
3x^5 - 2x^4 - 9x^3 + 6x^2 - 12x + 8
O conteúdo é o Teorema das Raízes Racionais e divisão sintética para reduzir o grau passo a passo.

Passo 2

Pelas possibilidades do Teorema das Raízes Racionais, os candidatos são
pm1,pm2,pm4,pm8,pm13,pm23,pm43,pm83
Testando x=2:
f(2)=3cdot2^5 -2cdot2^4 -9cdot2^3 +6cdot2^2 -12cdot2 +8 =96 -32 -72 +24 -24 +8 =0,
logo x=2 é raiz.

Passo 3

Fazendo divisão sintética de f(x) por (x-2) com coeficientes (3,-2,-9,6,-12,8):
c|rrrrr 2 & 3 & -2 & -9 & 6 & -12 & 8hline & & 6 & 8 & -2 & 4 & -4 & 3 & 4 & -1 & 4 & -8 & 0
O quociente é 3x^4+4x^3 -x^2 +4x -8. Portanto
f(x)=(x-2)l(3x^4+4x^3 -x^2 +4x -8r)

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema das Raízes Racionais ao quarteto 3x^4+4x^3 -x^2 +4x -8. Testando x=-2:
3(-2)^4 +4(-2)^3 -(-2)^2 +4(-2) -8 =48 -32 -4 -8 -8 =0,
logo x=-2 é raiz. Dividindo sinteticamente por (x+2) com coeficientes (3,4,-1,4,-8):
c|rrrr -2 & 3 & 4 & -1 & 4 & -8hline & & -6 & 4 & -6 & 4 & 3 & -2 & 3 & -2 & 0
O quociente é 3x^3 -2x^2 +3x -2. Assim
f(x)=(x-2)(x+2)l(3x^3 -2x^2 +3x -2r)

Passo 5

Para o cubo 3x^3 -2x^2 +3x -2, testamos x=tfrac23:
3l(tfrac23r)^3 -2l(tfrac23r)^2 +3l(tfrac23r) -2 =tfrac89 -tfrac89 +2 -2 =0,
então x=tfrac23 é raiz. Dividindo por l(x-tfrac23r) com coeficientes (3,-2,3,-2):
c|rrr tfrac23 & 3 & -2 & 3 & -2hline & & 2 & 0 & 2 & 3 & 0 & 3 & 0
O quociente é 3x^2 +3 =3(x^2+1). Logo
f(x)=(x-2)(x+2)l(x-tfrac23r)cdot3(x^2+1)

Passo 6

A equação x^2+1=0 dá as raízes complexas
x = ie x = -i

Resposta

As raízes de 3x^5 -2x^4 -9x^3 +6x^2 -12x +8 são
x = 2,;-2,;tfrac23,;i,;-,i

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