Mostre que x+a é um fator de x^n-d^n para todo n par.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que o polinômio
P(x)=x^n - a^n
é divisível por x + a sempre que n for par.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Fator, que diz: “ x - c é fator de um polinômio P(x) se, e somente se, P(c)=0.”

Passo 2

Para aplicar o Teorema do Fator escolhemos
c = -a,
pois x - c = x -(-a)=x+a. Agora vamos avaliar
P(-a)=(-a)^n - a^n

Passo 3

Como n é par, temos (-a)^n = a^n. Então
P(-a)=a^n - a^n = 0
Pelo Teorema do Fator, isso implica que x - (-a)=x + a divide P(x).

Resposta

Portanto, x + a é fator de x^n - a^n sempre que n for par.

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