Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathrm{F}=\left[1 /\left(x^{2}+1\right)\right] \mathrm{j}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W = \int_{C_{3}\cup C_{4}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F} = 0\,\mathbf{i} + \frac{1}{x^{2}+1}\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.
O caminho é a união de dois segmentos:
C_{3}: reta de (0,0,0) a (1,1,0).
C_{4}: reta de (1,1,0) a (1,1,1).
Para cada segmento, vamos:
1. escolher uma parametrização \mathbf{r}(t),
2. calcular d\mathbf{r},
3. escrever \mathbf{F} em função do parâmetro,
4. fazer o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} e integrar.

Passo 2

Segmento C_{3}: de (0,0,0) a (1,1,0).
Escolha a parametrização
\mathbf{r}(t) = (t,\,t,\,0),\quad t\in[0,1].
Então
d\mathbf{r} = (dt,\,dt,\,0), \quad x=t,\quad y=t.
A força ao longo de C_{3} é
\mathbf{F} = \bigl(0,\\ \tfrac{1}{t^{2}+1},\\\ 0\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =0\cdot dt + \frac{1}{t^{2}+1}\cdot dt + 0\cdot0 =\frac{dt}{t^{2}+1}.
Logo o trabalho em C_{3} é
W_{3} =\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2}+1} =\Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Segmento C_{4}: de (1,1,0) a (1,1,1).
Parametrização
\mathbf{r}(u)=(1,\,1,\,u),\quad u\in[0,1].
Então
d\mathbf{r}=(0,\,0,\,du), \quad x=1,\;y=1.
A força é constante
\mathbf{F}=\bigl(0,\tfrac{1}{1^{2}+1},0\bigr) =\bigl(0,\tfrac12,0\bigr).
O produto escalar fica
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =0\cdot0 + \tfrac12\cdot0 + 0\cdot du = 0,
portanto
W_{4} = \int_{0}^{1}0\,du = 0.

Passo 4

Somando as contribuições de C_{3} e C_{4}, temos
W = W_{3} + W_{4} = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\boxed{W = \frac{\pi}{4}.}

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