Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=\left(3 x^{2}-3 x\right) \mathbf{i}+3 z \mathbf{j}+\mathbf{k}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho da força \mathbf{F}=(3x^{2}-3x)\,\mathbf{i}+3z\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
ao longo do segmento de reta \mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k}, 0\le t\le1.
Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais:
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Parametrizamos o caminho como
x(t)=t,\quad y(t)=t,\quad z(t)=t,
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\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}(t,t,t)=(1,1,1).

Passo 3

Avaliamo-s a força em \mathbf{r}(t):
P=3x^{2}-3x=3t^{2}-3t,\quad Q=3z=3t,\quad R=1.
Portanto
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=(3t^{2}-3t,\,3t,\,1).

Passo 4

O produto escalar é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t) =(3t^{2}-3t)\cdot1+3t\cdot1+1\cdot1 =3t^{2}+1.
Assim
W=\int_{0}^{1}(3t^{2}+1)\,dt.

Passo 5

Calculando a integral:
\int_{0}^{1}(3t^{2}+1)\,dt =\Bigl[t^{3}+t\Bigr]_{0}^{1} =(1^{3}+1)-(0+0)=2.

Resposta

O trabalho realizado sobre C_{1} é 2.

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