Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=(y+z) \mathbf{i}+(z+x) \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k}
(b) O caminho curvo C_{2}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{\prime} \mathbf{j}+t^{\prime} \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

Resumo do enunciado. Queremos o trabalho
W=\int_{C_{2}}\mathbf F\cdot d\mathbf r
da força
\mathbf F=(y+z)\,\mathbf i+(z+x)\,\mathbf j+(x+y)\,\mathbf k
sobre o caminho curvo C_{2} que une (0,0,0) a (1,1,1).
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial; para resolver, vamos parametrizar C_{2}, calcular \mathbf F(\mathbf r(t)), d\mathbf r e fazer o produto escalar.

Passo 2

Parametrização de C_{2}. Pelo enunciado (e pela curva que “mergulha” abaixo da reta), tomamos
\mathbf r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)=(t,\;t^{2},\;t^{2}),\qquad 0\le t\le1.
Então
\frac{d\mathbf r}{dt}=(1,\;2t,\;2t)\quad\Longrightarrow\quad d\mathbf r=(1,\;2t,\;2t)\,dt.

Passo 3

Avaliar \mathbf F sobre \mathbf r(t):
\begin{aligned} x&=t,\\\ y&=t^{2},\\\ z&=t^{2}, \end{aligned} \qquad \mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr) =\bigl(y+z,\;z+x,\;x+y\bigr) =\bigl(t^{2}+t^{2},\;t^{2}+t,\;t+t^{2}\bigr) =(2t^{2},\;t(t+1),\;t(t+1)).

Passo 4

Produto escalar \mathbf F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\cdot\mathbf r'(t):
\begin{aligned} \mathbf F\cdot \frac{d\mathbf r}{dt} &=2t^{2}\cdot1 +\bigl[t(t+1)\bigr]\cdot(2t) +\bigl[t(t+1)\bigr]\cdot(2t)\\\ &=2t^{2}+2t^{2}(t+1)+2t^{2}(t+1) =2t^{2}+4t^{2}(t+1)\\\ &=2t^{2}+4t^{3}+4t^{2} =6t^{2}+4t^{3}. \end{aligned}
Logo
W=\int_{C_{2}}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{1}\bigl(6t^{2}+4t^{3}\bigr)\,dt =\Bigl[2t^{3}+t^{4}\Bigr]_{0}^{1} =2+1=3.

Passo 5

Observação (opcional): como \nabla\times\mathbf F=0, \mathbf F é conservativo e tem potencial \varphi(x,y,z)=xy+xz+yz. Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha,
W=\varphi(1,1,1)-\varphi(0,0,0)=\bigl(1+1+1\bigr)-0=3,
coincidindo com o cálculo direto.

Resposta

O trabalho ao longo de C_{2} vale 3.

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