Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=(y+z) \mathbf{i}+(z+x) \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C_{1}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}=(y+z)\mathbf{i}+(z+x)\mathbf{j}+(x+y)\mathbf{k} ao levar um ponto de (0,0,0) até (1,1,1) seguindo o segmento de reta
C_{1}:\;\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+t\,\mathbf{k},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial; como este campo é conservativo, o valor independe do caminho, mas aqui vamos calcular por parametrização.

Passo 2

Parametrizamos
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),
então
d\mathbf{r}=(1,1,1)\,dt.

Passo 3

Em \mathbf{r}(t) temos x=y=z=t, logo
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(y+z,\;z+x,\;x+y)=(2t,2t,2t).
O produto escalar fica
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot d\mathbf{r} =(2t,2t,2t)\cdot(1,1,1)\,dt =6t\,dt.

Passo 4

Integramos de t=0 até t=1:
W=\int_{0}^{1}6t\,dt =\bigl[3t^{2}\bigr]_{0}^{1} =3.

Resposta

O trabalho realizado ao longo de C_{1} é 3.

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