Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+4 z \mathbf{k}
(a) O segmento de reta C_{1}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força
\mathbf{F}(x,y,z)=3y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+4z\,\mathbf{k}
ao longo do caminho C_{1} que vai de (0,0,0) a (1,1,1).
Conteúdo: cálculo de integral de linha de um campo vetorial para obter trabalho
W=\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parametrizamos C_{1} por
\mathbf{r}(t)=(t,t,t),\quad 0\le t\le1.
Então
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=(1,1,1)\,dt.

Passo 3

Em \mathbf{r}(t) temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =3\,(y)\,\mathbf{i}+2\,(x)\,\mathbf{j}+4\,(z)\,\mathbf{k} =3t\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4t\,\mathbf{k}.
O produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(3t,2t,4t)\cdot(1,1,1)=3t+2t+4t=9t.

Passo 4

O trabalho é
W=\int_{0}^{1}9t\,dt =9\int_{0}^{1}t\,dt =9\bigl[\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{9}{2}.

Resposta

O trabalho ao longo de C_{1} é \displaystyle \frac{9}{2}.

Exercícios relacionados