Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+4 z \mathbf{k}
(b) O caminho curvo C_{2}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{\prime} \mathbf{j}+t^{\prime} \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de forças \mathbf{F}(x,y,z)=3y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+4z\,\mathbf{k}
e pede o trabalho ao longo do caminho curvo C_2 parametrizado por \mathbf{r}(t)=(t,\;t^2,\;t^3), com 0\le t\le1.
Para calcular o trabalho, usamos a definição de integral de linha de um campo vetorial:
W=\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada da parametrização para obter
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}(t,\;t^2,\;t^3) =(1,\;2t,\;3t^2).

Passo 3

Em seguida, avaliamos o campo \mathbf{F} ao longo de \mathbf{r}(t):
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =3y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+4z\,\mathbf{k} =3t^2\,\mathbf{i}+2t\,\mathbf{j}+4t^3\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(3t^2)\cdot1+(2t)\cdot(2t)+(4t^3)\cdot(3t^2) =3t^2+4t^2+12t^5=7t^2+12t^5.

Passo 5

Finalmente, integramos de t=0 a t=1:
W=\int_{0}^{1}(7t^2+12t^5)\,dt =\left[\frac{7t^3}{3}+\frac{12t^6}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{7}{3}+2=\frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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