Dê uma fórmula \mathbf{F}=M(x, y) \mathbf{i}+N(x, y) \mathbf{j} para o campo vetorial no plano que tem as propriedades de que \mathbf{F}=0 em (0,0) e de que, em qualquer outro ponto (a, b), \mathbf{F} é tangente à circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2} e aponta no sentido horário com magnitude |\mathrm{F}|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede um campo vetorial \mathbf{F}=M(x,y)\,\mathbf{i}+N(x,y)\,\mathbf{j} no plano com as condições:
\mathbf{F}(0,0)=0.
– Para (x,y)\neq(0,0), \mathbf{F}(x,y) é tangente à circunferência x^{2}+y^{2}=\text{constante}.
– O sentido é horário.
– A magnitude é \lvert\mathbf{F}(x,y)\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Conteúdo necessário: descrição geométrica de campos tangentes a círculos e escala para ajustar magnitude.

Passo 2

Num ponto (x,y) a direção radial é (x,y). Um vetor tangente ao círculo é obtido girando 90\circ no sentido horário, o que leva
(x,y)\mapsto (y,\,-x).
Esse vetor é paralelamente tangente no sentido horário.

Passo 3

A magnitude do vetor (y,-x) é \sqrt{y^{2}+(-x)^{2}} =\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Logo, se definirmos
\mathbf{F}(x,y)=(y,\,-x),
então já teremos \lvert\mathbf{F}(x,y)\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e a direção correta. No ponto (0,0) definimos \mathbf{F}(0,0)=(0,0) para satisfazer a condição no origem.

Resposta

\mathbf{F}(x,y)=y\,\mathbf{i}-x\,\mathbf{j},
ou seja M(x,y)=y e N(x,y)=-x.

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