Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=3 y \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+4 z \mathbf{k}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C_3\cup C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
da força \mathbf{F}=3y\,\mathbf{i}+2x\,\mathbf{j}+4z\,\mathbf{k} ao longo do caminho unindo (0,0,0) a (1,1,1) por dois segmentos: C_3: reta de (0,0,0) a (1,1,0) C_4: reta de (1,1,0) a (1,1,1)
Para cada segmento vamos usar parametrização, calcular \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr), o vetor tangente \mathbf{r}'(t) e integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrização de C_3:
\mathbf{r}_3(t)=(t,t,0),\quad t\in[0,1],
\mathbf{r}_3'(t)=(1,1,0), \quad \mathbf{F}(\mathbf{r}_3(t))=(3t,2t,0).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}_3' =3t\cdot1 +2t\cdot1 +0 =5t,
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W_3=\int_{0}^{1}5t\,dt = \frac{5}{2}.

Passo 3

Parametrização de C_4:
\mathbf{r}_4(s)=(1,1,s),\quad s\in[0,1],
\mathbf{r}_4'(s)=(0,0,1), \quad \mathbf{F}(\mathbf{r}_4(s))=(3,2,4s).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}_4' =4s,
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W_4=\int_{0}^{1}4s\,ds = 2.

Passo 4

Somando as duas parcelas, o trabalho total é
W = W_3 + W_4 = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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