Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=\left(3 x^{2}-3 x\right) \mathbf{i}+3 z \mathbf{j}+\mathbf{k}
(b) O caminho curvo C_{2}: \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t^{\prime} \mathbf{j}+t^{\prime} \mathbf{k}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

Resumindo: temos o campo
\mathbf{F}(x,y,z) = (3x^{2} - 3x)\,\mathbf{i} \;+\; 3z\,\mathbf{j} \;+\; \mathbf{k}
e o caminho C_{2} dado por
\mathbf{r}(t) = (t,\;t^{2},\;t^{3}),\quad 0 \le t \le 1.
Queremos o trabalho
W = \int_{C_{2}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

Parametrização e diferencial:
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = (t,\;t^{2},\;t^{3}),
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d\mathbf{r} = \mathbf{r}'(t)\,dt = (1,\;2t,\;3t^{2})\,dt.

Passo 3

Avalia-se o campo ao longo da curva:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(3t^{2}-3t,\;3z,\;1\bigr) = \bigl(3t^{2}-3t,\;3t^{3},\;1\bigr).

Passo 4

Calcula-se o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
(3t^{2}-3t)\cdot1 \;+\; 3t^{3}\cdot(2t)\;+\;1\cdot(3t^{2}) =6t^{4} \;+\;6t^{2}\;-\;3t.
Portanto
W = \int_{0}^{1} \bigl(6t^{4} + 6t^{2} - 3t\bigr)\,dt.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}6t^{4}\,dt = \frac{6}{5},\quad \int_{0}^{1}6t^{2}\,dt = 2,\quad \int_{0}^{1}(-3t)\,dt = -\frac{3}{2}.
Somando,
W = \frac{6}{5} + 2 - \frac{3}{2} = \frac{12 + 10 - 15}{10} = \frac{17}{10}.

Resposta

W = \frac{17}{10}.

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