Encontre o trabalho realizado pela força \mathbf{F} de (0,0,0) a (1,1,1) sobre cada um dos seguintes caminhos:
\mathbf{F}=\left(3 x^{2}-3 x\right) \mathbf{i}+3 z \mathbf{j}+\mathbf{k}
(c) O caminho C_{3} \cup C_{4} que consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,1,0) seguido pelo segmento de (1,1,0) até (1, 1, 1)

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C_3\cup C_4}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}=(3x^2-3x)\,\mathbf{i}+3z\,\mathbf{j}+\mathbf{k}
ao longo do caminho que vai de (0,0,0) a (1,1,0) (segmento C_3) e depois de (1,1,0) a (1,1,1) (segmento C_4).
Como \mathbf{F} não é conservativa (o rotor não é nulo), fazemos a integral em cada trecho.

Passo 2

Para C_3: parametrizamos
\mathbf{r}(t)=(t,t,0),\quad 0\le t\le1,
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d\mathbf{r}=(1,1,0)\,dt.
Em C_3, x=t, z=0, então
\mathbf{F}(t)=\bigl(3t^2-3t,\,0,\,1\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(3t^2-3t)\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=3t^2-3t.
Integrando de 0 a 1:
W_{C_3} =\int_{0}^{1}(3t^2-3t)\,dt =\Bigl[t^3-\tfrac32t^2\Bigr]_0^1 =1-\tfrac32 =-\tfrac12.

Passo 3

Para C_4: parametrizamos
\mathbf{r}(s)=(1,1,s),\quad 0\le s\le1,
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d\mathbf{r}=(0,0,1)\,ds.
Em C_4, x=1, z=s, então
\mathbf{F}(s)=\bigl(3\cdot1^2-3\cdot1,\,3s,\,1\bigr)=(0,3s,1).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0\cdot0+3s\cdot0+1\cdot1=1.
Integrando de 0 a 1:
W_{C_4} =\int_{0}^{1}1\,ds =1.

Passo 4

Somando os dois trechos:
W=W_{C_3}+W_{C_4} =-\tfrac12+1 =\tfrac12.

Resposta

O trabalho realizado é \tfrac12.

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