Determine expressões para vy(t) e y(t) para um objeto liberado do repouso de uma altura h sujeito a uma força de arrasto f=-c cdot v^2.

Passo 1

O enunciado pede as expressões de vy(t) e y(t) para um objeto liberado do repouso de uma altura h, sujeito a uma força de arrasto quadrática f=-c,v^2. O conteúdo envolve resolver a equação diferencial do movimento com arrasto e, em seguida, integrar a velocidade para obter a posição.

Passo 2

Definimos o eixo y positivo para baixo, com y(0)=0 no ponto de liberação. A velocidade é v(t)=dydt e a força de arrasto é contrária ao movimento. Pela segunda lei de Newton,
mdvdt=m,g - c,v^2

Passo 3

Separamos variáveis na ODE
Definindo a velocidade terminal
temos
Como , segue e

Passo 4

Para obter y(t), integramos v(t) com y(0)=0:
y(t)=integral0^tv(t'),dt' =integral0^traizm,gc;tanh!l(raiztfracg,cm,t'r),dt' =mc,ln!l[cosh!l(raiztfracg,cm,tr)r]

Resposta

vy(t)=raizm,gc;tanh!l(raiztfracg,cm;tr),
y(t)=mc,ln!l[cosh!l(raiztfracg,cm;tr)r]

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