(a) Mostre que a fórmula da curvatura da circunferência é constante e dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma circunferência de raio
, a curvatura é constante e vale
. O conteúdo aqui é o cálculo de curvatura de uma curva planar paramétrica, que envolve achar as derivadas da parametrização e aplicar a fórmula de curvatura.
Passo 2
Para parametrizar a circunferência de raio
, escolhemos
, com
variando de
a
. Calculamos as derivadas:
Passo 3
A fórmula da curvatura para uma curva
é
Vamos identificar:
Passo 4
Agora calculamos o numerador e o denominador separadamente. No numerador:
No denominador:
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Passo 5
Substituindo na fórmula de curvatura:
Esse resultado não depende de
, então a curvatura é constante ao longo de toda a circunferência.