(a) Mostre que a fórmula da curvatura da circunferência é constante e dada por kappa=1a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma circunferência de raio a, a curvatura é constante e vale kappa=1/a. O conteúdo aqui é o cálculo de curvatura de uma curva planar paramétrica, que envolve achar as derivadas da parametrização e aplicar a fórmula de curvatura.

Passo 2

Para parametrizar a circunferência de raio a, escolhemos r(t) = (acos t,,asin t), com t variando de 0 a 2pi. Calculamos as derivadas:
r'(t) = (-asin t,,acos t),
r''(t) = (-acos t,,-asin t)

Passo 3

A fórmula da curvatura para uma curva (x(t),y(t)) é
kappa = |x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t)|l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2
Vamos identificar:
x'(t) = -asin t, y'(t) = acos t,
x''(t) = -acos t, y''(t) = -asin t

Passo 4

Agora calculamos o numerador e o denominador separadamente. No numerador:
x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t) = (-asin t)(-asin t) - (acos t)(-acos t) = a^2sin^2 t + a^2cos^2 t = a^2
No denominador:
x'(t)^2 + y'(t)^2 = a^2sin^2 t + a^2cos^2 t = a^2,
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l(x'(t)^2 + y'(t)^2r)^3/2 = (a^2)^3/2 = a^3

Passo 5

Substituindo na fórmula de curvatura:
kappa = a^2a^3 = 1a
Esse resultado não depende de t, então a curvatura é constante ao longo de toda a circunferência.

Resposta

kappa = tfrac1a

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