Encontre as trajetórias ortogonais da família de funções dada abaixo:
y=C1 x1+x
Marque a alternativa correta:
(a) y+2 x^2-x^3=C2
(b) -y^3+x^3+2 y^2=C2
© 3 y^2+3 x^2+2 x^3=C2
(d) y+x-2 x^3=C2
(e) 3 y^2+3 x^2=C2

Passo 1

Resumo da questão: temos a família de curvas dada por y=C1x1+x e queremos seu envelope de trajetórias ortogonais. Vamos precisar: (1) escrever implicitamente a família, (2) encontrar a derivada y', (3) trocar por inclinação ortogonal -1/y' e (4) resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Escrever a família implicitamente e eliminar C1:
Temos
y(1+x)=C1x
Logo
C1=y(1+x)x

Passo 3

Calcular y' da família original por diferenciação implícita:
Derivando y(1+x)=C1x obtemos
y'(1+x)+y=C1
Substituindo C1=y(1+x)/x
y'(1+x)+y=y(1+x)x
Resolvendo para y':
y'(1+x)=yl(1+xx-1r)=yx
Logo
y'=yx(1+x)

Passo 4

Equação diferencial ortogonal:
A inclinação de cada ortogonal é -1/y', isto é
dydxperp=-x(1+x)y=-x^2+xy

Passo 5

Integrar a equação ortogonal:
Multiplicando ambos os lados por y,dx e integrando:
y,dy=-(x^2+x),dx
integral y,dy=-integral(x^2+x),dx
y^22=-l(x^33+x^22r)+C2
Multiplicando tudo por 6:
3y^2=-2x^3-3x^2+6C2
Reagrupando e absorvendo o 6C2 em uma constante geral:
3y^2+3x^2+2x^3=C2

Passo 6

A alternativa que bate com este resultado é a letra ©.

Resposta

3y2+3x2+2x^3=C_2 (alternativa c)

Exercícios relacionados