Encontre as trajetórias ortogonais da família de funções dada abaixo:
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Resumo da questão: temos a família de curvas dada por
e queremos seu envelope de trajetórias ortogonais. Vamos precisar: (1) escrever implicitamente a família, (2) encontrar a derivada
, (3) trocar por inclinação ortogonal
e (4) resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Escrever a família implicitamente e eliminar
:
Temos
Temos
Logo
Passo 3
Calcular
da família original por diferenciação implícita:
Derivando obtemos
Derivando
Substituindo
dá
Resolvendo para
:
Logo
Passo 4
Equação diferencial ortogonal:
A inclinação de cada ortogonal é , isto é
A inclinação de cada ortogonal é
Passo 5
Integrar a equação ortogonal:
Multiplicando ambos os lados por e integrando:
Multiplicando ambos os lados por
Multiplicando tudo por 6:
Reagrupando e absorvendo o
em uma constante geral:
Passo 6
A alternativa que bate com este resultado é a letra ©.
Resposta
3y2+3x2+2x^3=C_2 (alternativa c)