Um tanque grande é preenchido com 500 litros de água pura. Salmoura contendo 2 quilos de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
. A solução bem mistura é bombeada para fora à mesma taxa. Determine a quantidade
de quilos de sal no tanque no instante de tempo
. Qual a quantidade de sal no tanque no instante de 5 minutos?
Marque a alternativa correta que dê a quantidade de sal no tanque no instante de 5 minutos:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Marque a alternativa correta que dê a quantidade de sal no tanque no instante de 5 minutos:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura de soluções (conteúdo de EDO de primeira ordem). Temos um tanque com volume constante de 500 L, inicialmente com água pura (A(0)=0 kg de sal). Entra salmoura com concentração de 2 kg/L à vazão de 5 L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos montar e resolver a equação para A(t), a quantidade de sal em kg.
Passo 2
A taxa de entrada de sal é vazão vezes concentração: 5 L/min·2 kg/L=10 kg/min. A taxa de saída de sal é concentração na saída (A/500 kg/L) vezes vazão 5 L/min, ou seja (5/500)A = (1/100)A kg/min. Portanto a EDO que rege A(t) é
Passo 3
Essa é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução geral tende ao estado estacionário A_{ss}=10/(1/100)=1000 e satisfaz
Passo 4
Para t=5 min substituímos em A(t):
Resposta
A(5)\approx48{,}77\mathrm{,kg}, alternativa (e)