Um tanque grande é preenchido com 500 litros de água pura. Salmoura contendo 2 quilos de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 51 / min. A solução bem mistura é bombeada para fora à mesma taxa. Determine a quantidade A(t) de quilos de sal no tanque no instante de tempo t. Qual a quantidade de sal no tanque no instante de 5 minutos?
Marque a alternativa correta que dê a quantidade de sal no tanque no instante de 5 minutos:
(a) A(5 min) approx 34,85 kg
(b) A(5 min) approx 42,56 kg
© A(5 min) approx 30,27 kg
(d) A(5 min) approx 55,61 kg
(e) A(5 min) approx 48,77 kg

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura de soluções (conteúdo de EDO de primeira ordem). Temos um tanque com volume constante de 500 L, inicialmente com água pura (A(0)=0 kg de sal). Entra salmoura com concentração de 2 kg/L à vazão de 5 L/min e sai mistura à mesma vazão. Vamos montar e resolver a equação para A(t), a quantidade de sal em kg.

Passo 2

A taxa de entrada de sal é vazão vezes concentração: 5 L/min·2 kg/L=10 kg/min. A taxa de saída de sal é concentração na saída (A/500 kg/L) vezes vazão 5 L/min, ou seja (5/500)A = (1/100)A kg/min. Portanto a EDO que rege A(t) é
dAdt=10-1100A,onde A(0)=0.

Passo 3

Essa é uma EDO linear de 1ª ordem. A solução geral tende ao estado estacionário A_{ss}=10/(1/100)=1000 e satisfaz
A(t)=Ass+(A(0)-Ass)e^-t/100=1000l(1-e^-t/100r)

Passo 4

Para t=5 min substituímos em A(t):
A(5)=1000l(1-e^-5/100r)approx1000l(1-e^-0.05r)approx48,77 kg

Resposta

A(5)\approx48{,}77\mathrm{,kg}, alternativa (e)

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