Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos
em
. Em qual curva é transformado o eixo imaginário
?
Passo 1
Resumo: Queremos uma transformação fracionária linear (TF ou Möbius) f que manda z₁=−i em w₁=−1, z₂=0 em w₂=i, z₃=i em w₃=1. Depois vamos ver para qual curva o eixo imaginário x=0 é levado. Precisamos usar a invariância da razão cruzada em Möbius.
Passo 2
Teoria da razão cruzada: Em qualquer TF f valem
[
\frac{(f(z)-w_1)(w_2-w_3)}{(f(z)-w_3)(w_2-w_1)}
\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}
]
]
Passo 3
Substituindo z₁=−i, z₂=0, z₃=i e w₁=−1, w₂=i, w₃=1 obtemos
[
\frac{(w+1)(i-1)}{(w-1)(i+1)}
\frac{(z+i)(0-i)}{(z-i)(0+i)}
]
]
Calculamos as constantes: (i-1)/(i+1)=i e (0-i)/(0+i)=−1. Logo
e invertendo a fração para isolar w vem
Expressão final:
Passo 4
Imagem do eixo imaginário: parametrize z=it (t∈ℝ). Então
Multiplicando numerador e denominador por (1-it) e separando partes real e imaginária chegamos a
e portanto
Isso mostra que o eixo imaginário é levado no círculo unitário |w|=1.
Resposta
A transformação é
e o eixo imaginário x=0 vai para o círculo unitário
.