Encontre a transformação fracionária linear que leva os pontos z1=-i, z2=0, z3=i em w1=-1, w2=i, w3=1. Em qual curva é transformado o eixo imaginário x=0?

Passo 1

Resumo: Queremos uma transformação fracionária linear (TF ou Möbius) f que manda z₁=−i em w₁=−1, z₂=0 em w₂=i, z₃=i em w₃=1. Depois vamos ver para qual curva o eixo imaginário x=0 é levado. Precisamos usar a invariância da razão cruzada em Möbius.

Passo 2

Teoria da razão cruzada: Em qualquer TF f valem
[
\frac{(f(z)-w_1)(w_2-w_3)}{(f(z)-w_3)(w_2-w_1)}

\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}
]

Passo 3

Substituindo z₁=−i, z₂=0, z₃=i e w₁=−1, w₂=i, w₃=1 obtemos
[
\frac{(w+1)(i-1)}{(w-1)(i+1)}

\frac{(z+i)(0-i)}{(z-i)(0+i)}
]
Calculamos as constantes: (i-1)/(i+1)=i e (0-i)/(0+i)=−1. Logo
(w+1)(i-1)(w-1)(i+1) = (z+i)(0-i)(z-i)(0+i)
e invertendo a fração para isolar w vem
w+1w-1 = icdotz+iz-icdot(-1) = -iz+iz-i,
Expressão final:
w(z) = (-iz+iz-i)+1(-iz+iz-i)-1 = -iz-1z+1

Passo 4

Imagem do eixo imaginário: parametrize z=it (t∈ℝ). Então
w(it) = -iit-1it+1
Multiplicando numerador e denominador por (1-it) e separando partes real e imaginária chegamos a
w = u+iv, u=2t1+t^2, v=1-t^21+t^2,
e portanto
u^2+v^2 = 1
Isso mostra que o eixo imaginário é levado no círculo unitário |w|=1.

Resposta

A transformação é
f(z) = -,iz-1z+1,
e o eixo imaginário x=0 vai para o círculo unitário |w|=1.

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