Encontre uma transformação linear (geral) que leve o faixa R=(x, y) in C ; x>0 e 0 sobre a faixa (u, v) ;-1 e v>0.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que nos pedem e quais são as fronteiras de cada região. Temos a região R em (x,y): x>0 é a meia‐reta vertical, e 0<y<2 é a faixa horizontal entre as linhas y=0 e y=2. Ou seja, R é a interseção de três semi‐planos cujas fronteiras são as retas x=0, y=0 e y=2.
Queremos levar R na região em (u,v) dada por v>0 (semi‐plano acima da reta v=0) e −1<u<1 (faixa vertical entre u=−1 e u=1).

Passo 2

Como as fronteiras de R são duas retas horizontais (y=0, y=2) e uma reta vertical (x=0), e as fronteiras-alvo são duas retas verticais (u=−1,u=1) e uma reta horizontal (v=0), basta usar um mapa afim real que troque horizontais por verticais e vice-versa.
Procuramos um mapa afim (u,v)=T(x,y) do tipo: u= p x + q y + r , v= s x + t y + w.

Passo 3

Escolhemos as imagens das fronteiras: x=0 → v=0; y=0 → u=−1; y=2 → u=+1.
Da condição x=0 ⇒ v=0 para todo y tiramos s=0 e w=0, logo v = t
y. Mas como x=0 deve dar v=0 independentemente de y, necessitamos t=0, o que sobe um conflito. Em vez disso, trocamos: x=0 → v=0, y=0 e y=2 → u=∓1.

Passo 4

Fazendo x=0 ⇒ v=0 para todo y, obtemos s=0 e w=0 ⇒ v=t
y. Mas para y variável termos t=0, o que não dá um mapa bijetivo. Assim, reconsideramos o emparelhamento:
• x=0 (vertical) mapeada em v=0 (horizontal),
• y=0 (horizontal) mapeada em u=−1 (vertical),
• y=2 (horizontal) mapeada em u=+1 (vertical).

Passo 5

Agora x=0 ⇒ v=0 dá s⋅0 + t
y + w = 0 ∀y ⇒ t=0 e w=0 ⇒ v = s
x.
E y=0 ⇒ u=−1 dá p
x + q⋅0 + r = −1 ∀x ⇒ p=0 e r=−1 ⇒ u = q
y −1.
E y=2 ⇒ u=+1 dá q·2 −1 = +1 ⇒ q=1.

Passo 6

Concluímos o mapa afim real: u = y −1 , v = s
x , com s>0.
Verificamos rapidamente: x>0 ⇒ v = s
x >0; e 0<y<2 ⇒ −1<u=y−1<+1. É exatamente a região desejada.

Resposta

Uma família geral de transformações é
u = y – 1,
v = λ x,
com λ>0. Em particular, para λ=1 temos (u,v)=(y–1, x), que leva x>0, 0<y<2 em –1<u<1, v>0.

Exercícios relacionados