Suponha que o círculo unitário
está orientado no sentido anti-horário. Determine a orientação da sua imagem pela transformação
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o círculo unitário |z|=1 orientado no sentido anti-horário e a transformação f(z)=1/z. O objetivo é descobrir como fica a orientação da imagem desse círculo.
Passo 2
Para entender a imagem, parametrizamos o círculo original por z(θ)=e^{iθ}, com θ variando de 0 a 2π. Aplicando f, obtemos f(z(θ))=1/e{iθ}=e{-iθ}. Isso mostra que a imagem também é o círculo unitário, pois |e^{-iθ}|=1.
Passo 3
Analisando a orientação: quando θ aumenta de 0 a 2π, o argumento de e^{-iθ} varia de 0 a −2π, ou seja, percorre o círculo no sentido horário.
Resposta
A imagem é o mesmo círculo unitário, mas com orientação no sentido horário.