Encontre uma transformação linear
cujo núcleo seja gerado pelo vetores
e
e cuja imagem seja gerada pelos vetores
e 1 , que tenha ao menos um autovalor
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
tal que
,
e que tenha um autovalor .
Para isso usaremos o teorema do posto e da nulidade (dim , nulidade
, posto
), decomposição em soma direta de subespaços e construiremos
matendo a imagem em
e aniquilando o núcleo.
e que tenha um autovalor
Para isso usaremos o teorema do posto e da nulidade (dim
Passo 2
Escolhemos a base canônica de
:
.
Definimos o subespaço complemento ao núcleo como
Definimos o subespaço complemento ao núcleo como
de modo que
Em
usaremos a base
,
, e em
a base
,
.
Passo 3
Em toda transformação linear,
é determinada pelos valores em uma base. Vamos impor:
.
para todo
.
.
e
devem pertencer a
e ser linearmente independentes (para posto
).
Escrevemos
Escrevemos
com
e
em
independentes.
Passo 4
As condições de núcleo valem:
Logo, em coordenadas padrão,
Passo 5
Para garantir o autovalor
basta achar um vetor próprio
(sabemos que
para não surgir termos em
ou
). Da definição de
:
Isto gera o sistema
Tomando
leva a
Escolhemos também um
independente de
, por exemplo
,
. Assim o posto de
é
e
é vetor próprio de autovalor
:
Resposta
Definindo
obtém-se
,
e
é autovalor (com vetor próprio
).
e