(1,0) Encontre uma transformação linear T: P3 P3 cujo núcleo seja gerado pelo vetores 1+t^3 e 1-t^2 e cuja imagem seja gerada pelos vetores t^2 e 1 , que tenha ao menos um autovalor lambda=5.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
T: P3to P3
tal que
ker(T)=span,1+t^3,,1-t^2,
Im(T)=span,1,,t^2
e que tenha um autovalor lambda=5.
Para isso usaremos o teorema do posto e da nulidade (dim P3=4, nulidade =2, posto =2), decomposição em soma direta de subespaços e construiremos T matendo a imagem em span1,t^2 e aniquilando o núcleo.

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P3:
,1,;t,;t^2,;t^3.
Definimos o subespaço complemento ao núcleo como
X=span,t,;t^2,
de modo que
P3=ker(T)oplus X
Em X usaremos a base e1=t, e2=t^2, e em Im(T) a base f1=1, f2=t^2.

Passo 3

Em toda transformação linear, T é determinada pelos valores em uma base. Vamos impor:
1. T(u)=0 para todo uinker(T).
2. T(e1) e T(e2) devem pertencer a spanf1,f2 e ser linearmente independentes (para posto 2).
Escrevemos
T(t)=T(e1)=p,f1+q,f2=p + q,t^2,
T(t^2)=T(e2)=r,f1+s,f2=r + s,t^2,
com (p,q) e (r,s) em R^2 independentes.

Passo 4

As condições de núcleo valem:
T(1-t^2)=0Longrightarrow T(1)=T(t^2)=(r + s,t^2),
T(1+t^3)=0Longrightarrow T(t^3)=-T(1)=-r - s,t^2
Logo, em coordenadas padrão,
T(1)=r + s,t^2, T(t)=p + q,t^2, T(t^2)=r + s,t^2, T(t^3)=-r - s,t^2

Passo 5

Para garantir o autovalor lambda=5 basta achar um vetor próprio p(t)=alpha0+alpha2t^2 (sabemos que alpha1=alpha3=0 para não surgir termos em t ou t^3). Da definição de T:
Tl(alpha0+alpha2t^2r) =(alpha0+alpha2),(r + s,t^2) stackrel!=5l(alpha0+alpha2t^2r)
Isto gera o sistema
(alpha0+alpha2),r=5,alpha0, (alpha0+alpha2),s=5,alpha2
Tomando alpha2=alpha0 leva a
r,(1+1)=5Rightarrow r=tfrac52, s,(1+1)=5Rightarrow s=tfrac52
Escolhemos também um T(t) independente de T(1), por exemplo p=1, q=0. Assim o posto de T é 2 e 1+t^2 é vetor próprio de autovalor 5:
T(1+t^2) =T(1)+T(t^2) =tfrac52(1+t^2)+tfrac52(1+t^2) =5,(1+t^2)

Resposta

Definindo
T(1)=tfrac52 + tfrac52,t^2, T(t)=1, T(t^2)=tfrac52 + tfrac52,t^2, T(t^3)=-tfrac52 - tfrac52,t^2,
obtém-se
ker(T)=span1+t^3,,1-t^2,
Im(T)=span1,,t^2
e
lambda=5 é autovalor (com vetor próprio 1+t^2).

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