Exercício 12. (D. 3.5, ex.3.7) Mostre que se
for comtínua, então
i)
.
ii)
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado pede para uma função
, contínua, mostrarmos duas propriedades de sua transformada de Fourier
:
i) .
ii) .
O que vamos usar é a definição
i)
ii)
O que vamos usar é a definição
e trocas de ordem de integração (teorema de Fubini) mais o fato de que
onde
é a delta de Dirac, que ao integrar contra
contínua gera
.
Passo 2
Definimos a transformada dupla truncada para
:
Como
, o produto interno é absoluto integrável em
, logo podemos aplicar Fubini e trocar integrais:
Passo 3
Calculamos a integral interna explicitamente:
Portanto
Passo 4
Sabemos que o núcleo
KN(y)=sin(Ny)pi y aproxima a delta de Dirac, ou seja,
pela continuidade de
f em
t=-x e estimativa
l|sin((x+t)N)/(x+t)r|<= 1/|x+t| que é integrável localmente fora de
t=-x . Assim,
Mas
limNtoinftyIN(x) é exatamente
F(F(f))(x) . Logo obtivemos i).
Passo 5
Concluímos
Passo 6
Para ii), aplicamos duas vezes o item i). Primeiro,
Em seguida,
Resposta
i)
F(F(f))(x)=2pi,f(-x) .
ii)F^4(f)(x)=(2pi)^2f(x) .
ii)