Exercício 12. (D. 3.5, ex.3.7) Mostre que se f in L^1(R) for comtínua, então
i) F(F(f))(x)=2 pi f(-x).
ii) F^4(f)(x)=(2 pi)^2 f(x).

Passo 1

O enunciado pede para uma função fin L^1(R), contínua, mostrarmos duas propriedades de sua transformada de Fourier F:
i) F(F(f))(x)=2pi,f(-x).
ii) F^4(f)(x)=(2pi)^2f(x).
O que vamos usar é a definição
F(f)(xi)=integralRf(t)e^-i,t,xi,dt
e trocas de ordem de integração (teorema de Fubini) mais o fato de que
limNtoinftyintegral-N^Ne^-i,(x+t),xi,dxi =2pi,de<a(x+t),
onde de<a é a delta de Dirac, que ao integrar contra f(t) contínua gera 2pi,f(-x).

Passo 2

Definimos a transformada dupla truncada para N>0:
IN(x) =integral-N^Nl[integralRf(t)e^-i,t,xi,dtr]e^-i,x,xi,dxi
Como fin L^1, o produto interno é absoluto integrável em (t,xi), logo podemos aplicar Fubini e trocar integrais:
IN(x) =integralRf(t)l[integral-N^Ne^-i,(x+t),xi,dxir]dt

Passo 3

Calculamos a integral interna explicitamente:
integral-N^Ne^-i,(x+t),xi,dxi =e^-i,(x+t),xi-i,(x+t)|-N^N =e^-i,(x+t),N-e^,i,(x+t),N-i,(x+t) =2,sinl((x+t)Nr)x+t
Portanto
IN(x) =2integralRf(t),sinl((x+t)Nr)x+t,dt

Passo 4

Sabemos que o núcleo KN(y)=sin(Ny)pi y aproxima a delta de Dirac, ou seja,
limNtoinftyintegralRf(t),sinl((x+t)Nr)x+t,dt =pi,f(-x),
pela continuidade de f em t=-x e estimativa l|sin((x+t)N)/(x+t)r|<= 1/|x+t| que é integrável localmente fora de t=-x. Assim,
limNtoinftyIN(x) =2pi,f(-x)
Mas limNtoinftyIN(x) é exatamente F(F(f))(x). Logo obtivemos i).

Passo 5

Concluímos
F(F(f))(x)=2pi,f(-x)

Passo 6

Para ii), aplicamos duas vezes o item i). Primeiro,
F^2(f)(x)=2pi,f(-x)
Em seguida,
F^4(f)(x) =F^2l(F^2(f)r)(x) =2pi;l[F^2(f)r](-x) =2picdotl(2pi,f(-(-x))r) =(2pi)^2f(x)

Resposta

i) F(F(f))(x)=2pi,f(-x).
ii) F^4(f)(x)=(2pi)^2f(x).

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