Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Prove que, fixado um real alpha >= 2, a função z: R^d longrightarrow R, dada por z(x)=|x|^alpha, é diferenciável e
d z(x)=alpha|x|^alpha-2 x^t e nabla z(x)=alpha|x|^alpha-2 x
Para alpha<2, a função z é diferenciável em todo x neq 0 e vale a mesma fórmula.
Dica: Usar a Regra da Cadeia e o item anterior.

Passo 1

O enunciado define a função
zcolon R^d to R, z(x)=lvert xrvert^alpha
com alpha>=2, e pede para mostrar que z é diferenciável em todo R^d e que
dz(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x^t, nabla z(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x
Além disso, mostra-se que, se alpha<2, z é diferenciável em todo xneq0 e satisfaz as mesmas fórmulas. Vamos usar a Regra da Cadeia para xneq0 e estudar o caso x=0 separadamente quando alpha>=2.

Passo 2

Para xneq0 escrevemos
z(x)=l(g(x)r)^alpha, g(x)=lvert xrvert
Sabemos que g é diferenciável em xneq0 com
dg(x)=l(tfracxlvert xrvertr)^t, nabla g(x)=xlvert xrvert
Defina phi(t)=t^alpha para t>0; então phi'(t)=alpha,t^alpha-1. Aplicando a Regra da Cadeia para z(x)=phil(g(x)r) em xneq0 obtemos
dz(x) =phi'l(g(x)r),dg(x) =alpha,lvert xrvert^alpha-1,l(tfracxlvert xrvertr)^t =alpha,lvert xrvert^alpha-2,x^t,
e, portanto,
nabla z(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x

Passo 3

Para alpha>=2 falta verificar diferenciabilidade em x=0. Proponha o candidato a diferencial em 0
L(h)=0(aplicação linear zero) çã
Então
llvert hrrvert^alpha - L(h)lvert hrvert =lvert hrvert^alpha-1
Como alpha-1>=1, lvert hrvert^alpha-1to0 quando hto0. Logo z é diferenciável em 0 com dz(0)=0 e nabla z(0)=0.

Passo 4

Para alpha<2 a mesma aplicação da Regra da Cadeia mostra que z é diferenciável em todo xneq0 e satisfaz
dz(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x^t, nabla z(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x,
enquanto em x=0 a derivada não existe porque phi'(t)=alpha,t^alpha-1 deixa de ser limitada quando tto0 se alpha<1, e portanto o caso geral alpha<2 não dá diferenciabilidade em 0.

Resposta

Para alpha>=2 e todo xinR^d,
dz(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x^t, nabla z(x)=alpha,lvert xrvert^alpha-2,x
Para alpha<2 e todo xneq0, valem as mesmas fórmulas acima.

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