Exercício 4. Resolva os itens abaixo.
Prove que, fixado um real , a função , dada por , é diferenciável e
Para , a função é diferenciável em todo e vale a mesma fórmula.
Dica: Usar a Regra da Cadeia e o item anterior.
Passo 1
O enunciado define a função
com , e pede para mostrar que é diferenciável em todo e que
Além disso, mostra-se que, se , é diferenciável em todo e satisfaz as mesmas fórmulas. Vamos usar a Regra da Cadeia para e estudar o caso separadamente quando .
Passo 2
Para escrevemos
Sabemos que é diferenciável em com
Defina para ; então . Aplicando a Regra da Cadeia para em obtemos
e, portanto,
Passo 3
Para falta verificar diferenciabilidade em . Proponha o candidato a diferencial em
Então
Como alpha-1>=1, lvert hrvert^alpha-1to0 quando hto0. Logo z é diferenciável em 0 com dz(0)=0 e nabla z(0)=0.
Passo 4
Para alpha<2 a mesma aplicação da Regra da Cadeia mostra que z é diferenciável em todo xneq0 e satisfaz
enquanto em x=0 a derivada não existe porque phi'(t)=alpha,t^alpha-1 deixa de ser limitada quando tto0 se alpha<1, e portanto o caso geral alpha<2 não dá diferenciabilidade em 0.