Calcule as derivadas parciais das funções abaixo f(x, y)=cll5 x y^2x^2+y^2 ; & (x, y) neq & (0,0) 0 ; & (x, y)= & (0,0) Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= dfrac5,x,y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0), e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do quociente e, em (0,0), a definição de derivada parcial via limites.] Passo 2Para (x,y)neq(0,0), usando a regra do quociente na função f(x,y)=N(x,y)D(x,y), com N(x,y)=5xy^2 e D(x,y)=x^2+y^2, obtemos partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2 =(5y^2)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2x)(x^2+y^2)^2 Passo 3Simplificando o numerador da expressão acima: (5y^2)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2x) =5y^2l(x^2+y^2-2x^2r) =5y^2(y^2-x^2) Logo, para (x,y)neq(0,0), partial fpartial x =5,y^2,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2 Passo 4De modo análogo, para (x,y)neq(0,0) partial fpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2 =(10xy)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2y)(x^2+y^2)^2 No numerador temos 10xy(x^2+y^2)-10xy^3 =10x,y,(x^2+y^2 - y^2)=10x^3y, portanto partial fpartial y =10,x^3,y(x^2+y^2)^2 Passo 5Agora em (0,0) usamos a definição partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0, partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0 RespostaPara (x,y)neq(0,0): partial fpartial x =5,y^2,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =10,x^3,y(x^2+y^2)^2 Em (0,0): partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosExercício 11. (D. 3.5, ex.3.4) Seja f: R C uma função de classe L^1(R) tal que integral-infty^infty f(x) d x=0. Mostre que F(integral-infty^x f(t) d t)(xi)=1i xi F(f)(xi) Exercício 4. Resolva os itens abaixo. Mostre que a função w: R^d longrightarrow R, dada por w(x)=|x|, é diferenciável para todo x neq 0 e tem-se d w(x)=x^t|x| e nabla w(x)=x|x| Exercício 4. Resolva os itens abaixo. Prove que, fixado um real alpha >= 2, a função z: R^d longrightarrow R, dada por z(x)=|x|^alpha, é diferenciável e d z(x)=alpha|x|^alpha-2 x^t e nabla z(x)=alpha|x|^alpha-2 x Para alpha<2, a função z é diferenciável em todo x neq 0 e vale a mesma fórmula. Dica: Usar a Regra da Cadeia e o item anterior. (1,0) Encontre uma transformação linear T: P3 P3 cujo núcleo seja gerado pelo vetores 1+t^3 e 1-t^2 e cuja imagem seja gerada pelos vetores t^2 e 1 , que tenha ao menos um autovalor lambda=5.