Calcule as derivadas parciais das funções abaixo
f(x, y)=cll5 x y^2x^2+y^2 ; & (x, y) neq & (0,0) 0 ; & (x, y)= & (0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac5,x,y^2x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do quociente e, em (0,0), a definição de derivada parcial via limites.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), usando a regra do quociente na função
f(x,y)=N(x,y)D(x,y),
com N(x,y)=5xy^2 e D(x,y)=x^2+y^2, obtemos
partial fpartial x =partial Npartial x,D - N,partial Dpartial xD^2 =(5y^2)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2x)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Simplificando o numerador da expressão acima:
(5y^2)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2x) =5y^2l(x^2+y^2-2x^2r) =5y^2(y^2-x^2)
Logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =5,y^2,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 4

De modo análogo, para (x,y)neq(0,0)
partial fpartial y =partial Npartial y,D - N,partial Dpartial yD^2 =(10xy)(x^2+y^2)-(5xy^2)(2y)(x^2+y^2)^2
No numerador temos
10xy(x^2+y^2)-10xy^3 =10x,y,(x^2+y^2 - y^2)=10x^3y,
portanto
partial fpartial y =10,x^3,y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora em (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x =5,y^2,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =10,x^3,y(x^2+y^2)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0

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