Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que rotaciona todos os vetores num angulo de 30 graus no sentido ANTI-HORÁRIO em torno do EIXO X.

Passo 1

O enunciado pede uma rotação linear em \mathbb{R}^3 de ângulo 30^\circ no sentido anti-horário em torno do eixo x. O que vamos usar é o fato de que essa rotação deixa a coordenada x inalterada e atua como uma rotação no plano yz.

Passo 2

Em \mathbb{R}^2, uma rotação anti-horário de ângulo \theta no plano com coordenadas (u,v) transforma
(u',v') = \bigl(u\cos\theta - v\sin\theta,\;u\sin\theta + v\cos\theta\bigr).

Passo 3

No nosso caso o “plano de rotação” é o plano yz. Logo, mantendo x fixo, temos
T(x,y,z) = \bigl(x,\;y\cos\theta - z\sin\theta,\;y\sin\theta + z\cos\theta\bigr).

Passo 4

Agora basta tomar \theta = 30^\circ. Sabemos que
\cos30^\circ = \tfrac{\sqrt3}{2} e \sin30^\circ = \tfrac12. Assim,
T(x,y,z) = \Bigl(x,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\,y - \tfrac12\,z,\;\tfrac12\,y + \tfrac{\sqrt3}{2}\,z\Bigr).

Resposta

A matriz de T na base canônica é
[T] \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados