Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que rotaciona todos os vetores num angulo de 30 graus no sentido HORÁRIO.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
\;T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\
que rotacione todo vetor em 30^\circ no sentido horário.
Conteúdo: matrizes de rotação no plano.
Para resolver, precisamos lembrar que rotações no sentido anti-horário usam ângulo positivo, e que sentido horário corresponde a ângulo negativo.

Passo 2

Como a rotação é de 30^\circ no sentido horário, o ângulo a usar na fórmula padrão é
\theta = -\,30^\circ = -\,\frac{\pi}{6}.

Passo 3

A fórmula da matriz de rotação de um ângulo \theta (sentido anti-horário) é
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\[6pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Para rotação horária usamos \theta=-\pi/6.]

Passo 4

Calculemos \cos(-\pi/6) e \sin(-\pi/6):
\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\frac12.
Substituindo em R(\theta) com \theta=-\pi/6, obtemos
T = R\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\bigl(-\tfrac12\bigr) \\[6pt] -\tfrac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \\[6pt] -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

T(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \\[4pt] -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.]

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