Encontre a transformação linear pedida:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} que CONTRACIONA cada vetor a METADE de seu tamanho.

Passo 1

O enunciado pede um operador linear
\,T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que “contrai” cada vetor até metade de seu tamanho, ou seja, para todo v\in\mathbb{R}^3 vale
\|T(v)\| = \tfrac12\,\|v\|.
Aqui o conteúdo é transformações lineares definidas por escalares (mapas de dilatação/contração).

Passo 2

Seja T linear e T(v)=k\,v para algum escalar k. Então
\|T(v)\| = \|k\,v\| = |k|\,\|v\|.
Queremos |k|\,\|v\| = \tfrac12 \|v\| para todo v\neq0. Logo
|k| = \tfrac12.
Para preservar a direção (contrair sem inverter), escolhemos k=\tfrac12.

Passo 3

Concluímos que
T(v)=\tfrac12\,v \quad\text{para todo }v\in\mathbb{R}^3.

Passo 4

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz de T é
[T] = \tfrac12 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

T(v)=\tfrac12\,v.
Matriz:
\begin{pmatrix} \tfrac12 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.

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