Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
pode ser LI.
II - Se
não são colineares, então
pode ser LI.
III - Se
e
são todos LIs, então
é LI.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três vetores
e define os subconjuntos
,
e
. Precisamos avaliar se as afirmações sobre dependência linear (LD) e independência linear (LI) desses conjuntos são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
é LD, então
pode ser LI.”
Quando três vetores em são LD, eles podem estar todos em um mesmo plano. Ainda assim, dois deles podem formar um par LI (por exemplo,
,
,
são LD mas
é LI). Logo, I é verdadeira.
Quando três vetores em
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
não são colineares, então
pode ser LI.”
“Não colineares” apenas exclui que todas estejam na mesma reta, mas permite que a terceira fique fora do plano gerado pelas duas primeiras, de modo que as três sejam LI. Por exemplo, ,
,
não são colineares e são LI. Logo, II é verdadeira.
“Não colineares” apenas exclui que todas estejam na mesma reta, mas permite que a terceira fique fora do plano gerado pelas duas primeiras, de modo que as três sejam LI. Por exemplo,
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Se
e
são todos LIs, então
é LI.”
Podemos ter todas LI mas ainda assim
. Nesse caso cada par é independente, mas o trio é LD. Logo, III é falsa.
Podemos ter
Passo 5
Concluímos que apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta
(A) Apenas I e II são verdadeiras.