Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I - Se S é LD, então A pode ser LI.
II - Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S pode ser LI.
III - Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas I e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três vetores \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\in\mathbb R^3 e define os subconjuntos A=\{\vec v_1,\vec v_2\}, B=\{\vec v_1,\vec v_3\} e C=\{\vec v_2,\vec v_3\}. Precisamos avaliar se as afirmações sobre dependência linear (LD) e independência linear (LI) desses conjuntos são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se S=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} é LD, então A pode ser LI.”
Quando três vetores em \mathbb R^3 são LD, eles podem estar todos em um mesmo plano. Ainda assim, dois deles podem formar um par LI (por exemplo, \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0), \vec v_3=(1,1,0) são LD mas \{\vec v_1,\vec v_2\} é LI). Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são colineares, então S pode ser LI.”
“Não colineares” apenas exclui que todas estejam na mesma reta, mas permite que a terceira fique fora do plano gerado pelas duas primeiras, de modo que as três sejam LI. Por exemplo, \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0), \vec v_3=(0,0,1) não são colineares e são LI. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Se A, B e C são todos LIs, então S é LI.”
Podemos ter \{\vec v_1,\vec v_2\},\{\vec v_1,\vec v_3\},\{\vec v_2,\vec v_3\} todas LI mas ainda assim \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2. Nesse caso cada par é independente, mas o trio é LD. Logo, III é falsa.

Passo 5

Concluímos que apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resposta

(A) Apenas I e II são verdadeiras.

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