Encontre uma transformação linear T: R^2 R^3 cujo núcleo seja a reta y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear TcolonR^2toR^3 cujo núcleo seja a reta definida por y=2x. Vamos usar o fato de que o núcleo de T é o conjunto de pontos que vão para o vetor nulo.

Passo 2

A reta y=2x pode ser escrita como
ker T=(x,y)mid y-2x=0 ;=;lt,(1,2)mid tinRr
Isso sugere escolher uma forma linear f(x,y) cuja única solução seja y-2x=0, por exemplo
f(x,y)=y-2x

Passo 3

Basta então usar f numa das coordenadas de R^3. Definimos
T(x,y) = l(f(x,y),0,0r) ;=;(y-2x,,0,,0)
Cada coordenada de T é uma combinação linear de x e y, logo T é linear. E
T(x,y)=(0,0,0)Long<=ftrightarrow y-2x=0,
portanto ker T=(x,y)mid y=2x.

Resposta

TcolonR^2toR^3, T(x,y)=(y-2x,0,0)

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