Mostre que todo complexo z=x+y i in C pode-se escrever como z=r(cos alpha+i sin alpha) onde r=raizz barz e alpha é o angulo formado pelo vetor (0,0)(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dado um número complexo
z = x + yi, x,yinR,
ele pode ser escrito na forma polar
z = rl(cosalpha + isinalphar),
onde r é o módulo de z e alpha é o ângulo que o vetor (0,0)(x,y) faz com o eixo real positivo. O conteúdo aqui é definição de módulo e argumento de um número complexo.

Passo 2

Definimos o módulo de z como
r = raizzz = raiz(x+iy)(x-iy) = raizx^2 + y^2
Geometricamente, r>=0 é a distância do ponto (x,y) à origem no plano.

Passo 3

Se rneq0, podemos dividir as coordenadas por r e definir
cosalpha = xr, sinalpha = yr
Como
cos^2alpha + sin^2alpha = x^2r^2 + y^2r^2 = x^2+y^2r^2 =1,
existe um ângulo alpha cujo cosseno e seno são esses valores. Esse alpha é precisamente o argumento de z.

Passo 4

Multiplicando ambas as definições por r, obtemos
rcosalpha = x, rsinalpha = y,
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rl(cosalpha + isinalphar) = x + iy = z
No caso r=0, temos z=0 e a fórmula vale trivialmente pois 0 = 0l(cosalpha + isinalphar).

Resposta

z = rl(cosalpha + isinalphar)

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