P 3.2. Determine a característica de cada uma das seguintes matrizes:
A=[lll1 & 1 & 3 1 & 1 & 4 1 & 1 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a característica da matriz
A = 1 & 1 & 3 1 & 1 & 4 1 & 1 & 5
Aqui “característica” significa o polinômio característico de A e, em seguida, suas raízes (os autovalores). Vamos usar a definição
p(lambda)=det(A - lambda I)

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 3 1 & 1-lambda & 4 1 & 1 & 5-lambda

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A-lambda I) =(1-lambda)det!1-lambda&41&5-lambda -1det!1&41&5-lambda +3det!1&1-lambda1&1
Agora cada menor:
det!1-lambda&41&5-lambda =(1-lambda)(5-lambda)-4,
det!1&41&5-lambda =1cdot(5-lambda)-4cdot1,
det!1&1-lambda1&1 =1cdot1-(1-lambda)cdot1

Passo 4

Simplificando cada termo:
(1-lambda)l((1-lambda)(5-lambda)-4r) =(1-lambda)l(lambda^2-6lambda+1r),
-1l((5-lambda)-4r)=-(1-lambda)=lambda-1,
3l(1-(1-lambda)r)=3lambda
Somando tudo:
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-6lambda+1)+(lambda-1)+3lambda =-lambda^3+7lambda^2-3lambda
Para obter o polinômio monico habitual podemos multiplicar por -1:
p(lambda)=lambda^3-7lambda^2+3lambda

Passo 5

Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0. Logo um fator é lambda=0 e os outros vêm da equação quadrática
lambda^2-7lambda+3=0 Longrightarrow lambda=7pmraiz49-122 =7pmraiz372

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=det(A-lambda I)=-lambda^3+7lambda^2-3lambda,
ou, monico,
p(lambda)=lambda^3-7lambda^2+3lambda
Autovalores:
lambda1=0, lambda2,3=7pmraiz372

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