Verifique que cada uma das transformações lineares abaixo é um isomorfismo.
(a) T: P2(R) R^3 dada por
T(a+b t+c t^2)=(4 b, a-b, b+6 c)

Passo 1

O enunciado define
T:P2(R)toR^3, Tl(a+bt+ct^2r)=(4b,;a-b,;b+6c)
O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais de dimensão finita. Como dimP2=3 e dimR^3=3, basta mostrar que T é linear e injetora (ou surjetora) para concluir que é um isomorfismo.

Passo 2

Vamos checar que T é linear. Tomemos p(t)=a+bt+ct^2 e q(t)=a'+b't+ c't^2 e lambdainR. Então
Tl(lambda p+qr) =Tl((lambda a+a')+(lambda b+b')t+(lambda c+c')t^2r) =l(4(lambda b+b'),;(lambda a+a')-(lambda b+b'),;(lambda b+b')+6(lambda c+c')r)
Por outro lado,
lambda,T(p)+T(q) =lambda(4b,;a-b,;b+6c)+(4b',;a'-b',;b'+6c') =(4lambda b+4b',;lambda(a-b)+(a'-b'),;lambda(b+6c)+(b'+6c')),
e comparando componentes vemos que os dois vetores coincidem. Logo T é linear.

Passo 3

Para encontrar
Da primeira equação vem . E na terceira, com , obtemos , logo . Assim

Passo 4

Como ker T=0, a transformação T é injetora. Em espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Portanto T é um isomorfismo de P2(R) em R^3.

Resposta

A transformação T é um isomorfismo.

Exercícios relacionados