Verifique que cada uma das transformações lineares abaixo é um isomorfismo.
(a)
dada por
(a)
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é isomorfismo de espaços vetoriais de dimensão finita. Como
e
, basta mostrar que
é linear e injetora (ou surjetora) para concluir que é um isomorfismo.
Passo 2
Vamos checar que
é linear. Tomemos
e
e
. Então
Por outro lado,
e comparando componentes vemos que os dois vetores coincidem. Logo
é linear.
Passo 3
Para encontrar
Da primeira equação vem . E na terceira, com
, obtemos
, logo
. Assim
Passo 4
Como
, a transformação
é injetora. Em espaços de mesma dimensão finita, injetividade implica bijetividade. Portanto
é um isomorfismo de
em
.
Resposta
A transformação
é um isomorfismo.