Verifique que cada uma das transformações lineares abaixo é um isomorfismo.
(b) T: R^4 M2(R) dada por
T(a, b, c, d)=[cc -a+c & 2 a+b 3 b & -b+d ]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^4to M2(R), T(a,b,c,d)= -a+c & 2a+b [6pt] 3b & -b+d
e pede para verificar que T é um isomorfismo. O conteúdo aqui é teoria de transformações lineares: para mostrar que T é isomorfismo, basta provar que ela é injetora (ou sobrejetora) e observar que
diml(R^4r)=4 e diml(M2(R)r)=4 ]

Passo 2

Primeiro, notamos que cada entrada de T(a,b,c,d) é combinação linear de a,b,c,d. Logo, para quaisquer vetores v=(a,b,c,d) e w=(a',b',c',d') e escalar lambda, vale
T(v+w)=T(a+a',b+b',c+c',d+d') =T(a,b,c,d)+T(a',b',c',d')
e
T(lambda v)=T(lambda a,lambda b,lambda c,lambda d) =lambda,T(a,b,c,d)
Isto mostra que T é de fato linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, resolvemos T(a,b,c,d)=0, isto é,
-a+c & 2a+b [3pt] 3b & -b+d = 0 & 0 [3pt] 0 & 0
Isso gera o sistema
-a+c=0, 2a+b=0, 3b=0, -b+d=0
Da terceira equação vem b=0. Substituindo em 2a+b=0 2a=0, logo a=0. Da primeira vem c=0 e da quarta d=0. Portanto
ker T=(0,0,0,0),
ou seja, T é injetora.]

Passo 4

Como diml(R^4r)=diml(M2(R)r)=4 e T é injetora, concluímos que T é também sobrejetora e, portanto, um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

A transformação T é um isomorfismo, pois é linear, injetora (e por dimensões coincide com sobrejetora) e mapeia R^4 bijetivamente em M2(R).

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