Encontre a transformada de Fourier para cada um dos sinais abaixo utilizando a tabela de transformadas de sinais básicos e propriedades.
f(t)=t^{3} \operatorname{sign}(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(t)=t^{3}\,\mathrm{sign}(t).
Vamos usar duas coisas:
  1. A transformada de \mathrm{sign}(t) é
\mathcal{F}\{\mathrm{sign}(t)\}(\omega)=\frac{2}{i\,\omega}.
  1. A propriedade de derivada no domínio da frequência: se x(t)\leftrightarrow X(\omega), então
t^{n}\,x(t)\;\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;(i)^{n}\,\frac{d^{n}}{d\omega^{n}}X(\omega).

Passo 2

Identificando x(t)=\mathrm{sign}(t) e n=3, temos
f(t)=t^{3}\,\mathrm{sign}(t)\;\xleftrightarrow{\mathcal{F}}\;F(\omega) =(i)^{3}\,\frac{d^{3}}{d\omega^{3}}\Bigl[\tfrac{2}{i\,\omega}\Bigr].

Passo 3

Simplificamos (i)^{3}=-\,i e
\frac{2}{i\,\omega}=\frac{2}{i}\,\omega^{-1}\,,
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F(\omega) =-\,i\;\frac{d^{3}}{d\omega^{3}}\Bigl[\tfrac{2}{i}\,\omega^{-1}\Bigr] =-2\;\frac{d^{3}}{d\omega^{3}}\bigl[\omega^{-1}\bigr].

Passo 4

Calculamos as derivadas de \omega^{-1}:
\frac{d}{d\omega}\omega^{-1}=-\omega^{-2},\quad \frac{d^{2}}{d\omega^{2}}\omega^{-1}=2\,\omega^{-3},\quad \frac{d^{3}}{d\omega^{3}}\omega^{-1}=-6\,\omega^{-4}.
Substituindo em F(\omega):
F(\omega)=-2\bigl[-6\,\omega^{-4}\bigr]=12\,\omega^{-4}.

Resposta

F(\omega)=\frac{12}{\omega^{4}},\quad\omega\neq 0.

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