A partir da tabela de transformadas de Fourier e das identidades \operatorname{sen}(a t)=\frac{e^{\text {lat }}-e^{- \text {lat }}}{2 i} e \cos (a t)=\frac{e^{\text {lat }}+e^{- \text {lat }}}{2}, determine:
A transformada de Fourier da função sen(at).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de \sin(at), usando a tabela de transformadas e as identidades de Euler. Vamos adotar a convenção
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.

Passo 2

Escrevemos \sin(at) em termos de exponenciais de Euler:
\sin(at)=\frac{e^{i a t}-e^{-i a t}}{2i}.

Passo 3

Pela tabela de transformadas, temos as seguintes relações em display:
\mathcal{F}\{e^{i a t}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega - a),
\mathcal{F}\{e^{-i a t}\}(\omega)=2\pi\,\delta(\omega + a).

Passo 4

Usando linearidade da transformada e a expressão de \sin(at), obtemos
\mathcal{F}\{\sin(at)\}(\omega) =\frac{1}{2i}\Bigl[\mathcal{F}\{e^{i a t}\}(\omega)-\mathcal{F}\{e^{-i a t}\}(\omega)\Bigr] =\frac{1}{2i}\bigl[2\pi\,\delta(\omega - a)-2\pi\,\delta(\omega + a)\bigr].

Passo 5

Fatorando 2\pi e simplificando 1/(2i)= -\,i/2, resulta
\mathcal{F}\{\sin(at)\}(\omega) =-\,\frac{i}{2}\,2\pi\bigl[\delta(\omega - a)-\delta(\omega + a)\bigr] =-\,i\pi\bigl[\delta(\omega - a)-\delta(\omega + a)\bigr].
Alternativamente, podemos reescrever como
\mathcal{F}\{\sin(at)\}(\omega) =i\pi\bigl[\delta(\omega + a)-\delta(\omega - a)\bigr].

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{\sin(at)\}(\omega) =i\pi\bigl[\delta(\omega + a)-\delta(\omega - a)\bigr].

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