Encontre a transformada de Fourier da função par de período 2 dada por y(t)=1

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função periódica de período 2 dada por y(t)=1. O conteúdo aqui é a relação entre séries de Fourier de uma função periódica e sua transformada de Fourier, que se expressa como uma soma de deltas em frequências múltiplas da fundamental.

Passo 2

Identificamos o período
T0=2
e a frequência angular fundamental
omega0=2piT0=pi

Passo 3

Calculamos os coeficientes da série de Fourier
ak=1T0integral0^T0y(t)e^-jkomega0t,dt =12integral0^2e^-jkpi t,dt
Para kneq0 temos
integral0^2e^-jkpi t,dt =e^-jkpi t-jkpi|0^2 =e^-j2kpi-1-jkpi=0,
pois e^-j2kpi=1.

Passo 4

Para k=0 a integral é
a0=12integral0^2dt=1
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ak= 1, & k=0, 0, & kneq0

Passo 5

Usando a fórmula da transformada de Fourier de função periódica
Y(omega) =2pisumk=-infty^inftyak,de<a(omega - komega0),
como só a0=1, resulta
Y(omega)=2pi,de<a(omega)

Resposta

Y(omega)=2pi,de<a(omega)

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