Calcule as integrais iteradas:
integral0^1 integral2^3 x raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
integral0^1integral2^3xraiz1-x^2;dy;dx.
O conteúdo é integrais iteradas; vamos usar que, se o integrando não depende de y, a integral interna em y é só o fator em x vezes o comprimento do intervalo, e depois resolver a integral em x por substituição.

Passo 2

Como xraiz1-x^2 não depende de y,
integral2^3xraiz1-x^2;dy = xraiz1-x^2integral2^3dy = xraiz1-x^2,(3-2) = xraiz1-x^2
Então a integral original vira
integral0^1xraiz1-x^2;dx.

Passo 3

Para integral0^1xraiz1-x^2;dx, fazemos u=1-x^2, daí du=-2x,dx ou x,dx=-tfrac12,du. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=0. Então
integral0^1xraiz1-x^2,dx = -tfrac12integral1^0u^1/2,du = tfrac12integral0^1u^1/2,du = tfrac12l[tfrac23u^3/2r]0^1 = tfrac13

Resposta

tfrac13

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