Calcule y^prime :
Determine
y=e^-t(t^2-2 t+2)

Passo 1

O enunciado dá a função
y = e^-tl(t^2 - 2t + 2r)
e pede sua derivada y'. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, pois temos um produto de e^-t por um polinômio.

Passo 2

Calcular a derivada de e^-t. Pela regra da cadeia,
ddte^-t = -,e^-t

Passo 3

Calcular a derivada do polinômio t^2-2t+2. Pela derivação termo a termo,
ddtl(t^2-2t+2r) = 2t - 2

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
y' = ddtl(e^-tr),(t^2-2t+2) ;+; e^-t,ddtl(t^2-2t+2r)
Substituindo as derivadas dos passos anteriores,
y' = l(-e^-tr)l(t^2-2t+2r) ;+; e^-t,(2t-2)

Passo 5

Colocar e^-t em evidência e combinar termos:
y' = e^-tl[-(t^2-2t+2) + (2t-2)r] = e^-tl[-t^2+2t-2+2t-2r] = e^-tl(-t^2+4t-4r)

Passo 6

Observar que -t^2+4t-4 = -(t^2-4t+4) = -(t-2)^2. Logo,
y' = -,e^-t,(t-2)^2

Resposta

y' = -,e^-t,(t-2)^2

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