Encontre a transformada de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier de
Informações dadas:
-
é um número positivo que indica a largura do intervalo onde
é não nula.
- A tarefa é calcular explicitamente(a transformada de Fourier) sem consultar tabelas.]
Passo 2
Vamos usar a convenção padrão (muito comum) da transformada de Fourier unidimensional:
Explicando cada símbolo:
-
é a variável de frequência (real). -
é a variável no domínio original (posição/tempo). -
é a unidade imaginária, .
Essa fórmula diz: multiplica-sepor uma onda complexa e integra-se sobre todo .
Passo 3
A função
é zero exceto no intervalo
. Portanto a integral sobre
reduz-se ao intervalo
. Substituindo
nesse intervalo:
Passo 4
Fatorando a constante
:
Calculemos a integral. Para
, a primitiva de
é
. Assim, avaliando de
a
,
Como
, simplificando,
Passo 5
Falta tratar o caso
(a expressão anterior tem forma
quando
). Calculamos o limite
. Usando desenvolvimento em série de Taylor de
em torno de
:
Logo o numerador
é
para
pequeno, e
Portanto
Isso coincide com a integral direta:
.
Passo 6
Podemos reescrever a expressão para
numa forma mais simpática (forma sinc e fase). Usemos a identidade
Tomando
obtemos
Substituindo na expressão da transformada,
Agora reescrevemos
multiplicando e dividindo por
:
Definindo a função sinc pelo usual
(com
por limite), obtemos a forma compacta:
Essa forma é válida para todo
se interpretarmos
; no caso
recuperamos
.
Passo 7
Resumo do que fizemos (dicas para prova):
- Reduza a integral ao suporte de
(aqui ). - Integre a exponencial complexa e trate o caso
por limite (Taylor ou L’Hôpital). - Se quiser uma forma com amplitude e fase, use a identidade que transforma
em termos de e um fator exponencial com . Isso dá a interpretação: módulo e fase .