Encontre a transformada de Fourier de f(x)\) (sem usar a Tabela III da Seção 11.10). Mostre os detalhes. \(f(x)= \begin{cases}k & \text { se } 0<x<b \\\\ 0 & \text { nos demais casos }\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier de f(x)\), onde \[f(x)=\begin{cases} k & \text{se } 0<x<b,\\[4pt] 0 & \text{nos demais casos.} \end{cases}
Informações dadas:
  • k\] é uma constante (número real, presumivelmente). - \(b é um número positivo que indica a largura do intervalo onde f é não nula.
    - A tarefa é calcular explicitamente \mathcal{F}\{f\}(\omega) (a transformada de Fourier) sem consultar tabelas.]

Passo 2

Vamos usar a convenção padrão (muito comum) da transformada de Fourier unidimensional:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx.
Explicando cada símbolo:
  • \omega é a variável de frequência (real).
  • x é a variável no domínio original (posição/tempo).
  • i é a unidade imaginária, i^2=-1.
    Essa fórmula diz: multiplica-se f(x) por uma onda complexa e^{-i\omega x} e integra-se sobre todo x.

Passo 3

A função f(x) é zero exceto no intervalo (0,b). Portanto a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se ao intervalo [0,b]. Substituindo f(x)=k nesse intervalo:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx = \int_{0}^{b} k\,e^{-i\omega x}\,dx.

Passo 4

Fatorando a constante k:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\int_{0}^{b} e^{-i\omega x}\,dx.
Calculemos a integral. Para \omega\neq 0, a primitiva de e^{-i\omega x} é -\dfrac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}. Assim, avaliando de 0 a b,
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\left[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\right]_{0}^{b} = k\left(-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega b} + \frac{1}{i\omega}e^{-i\omega\cdot 0}\right).
Como e^{0}=1, simplificando,
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\frac{1-e^{-i\omega b}}{i\omega},\qquad (\omega\neq 0).

Passo 5

Falta tratar o caso \omega=0 (a expressão anterior tem forma 0/0 quando \omega\to 0). Calculamos o limite \omega\to 0. Usando desenvolvimento em série de Taylor de e^{-i\omega b} em torno de \omega=0:
e^{-i\omega b}=1 - i\omega b + O(\omega^{2}).
Logo o numerador 1-e^{-i\omega b} é \approx i\omega b para \omega pequeno, e
\lim_{\omega\to 0} \frac{1-e^{-i\omega b}}{i\omega} = \lim_{\omega\to 0} \frac{i\omega b + O(\omega^{2})}{i\omega} = b.
Portanto
\mathcal{F}\{f\}(0)=k\,b.
Isso coincide com a integral direta: \int_{0}^{b} k\,dx = k b.

Passo 6

Podemos reescrever a expressão para \omega\neq 0 numa forma mais simpática (forma sinc e fase). Usemos a identidade
1-e^{-i\theta}=e^{-i\theta/2}\big( e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}\big) = e^{-i\theta/2}\,2i\sin\!\big(\tfrac{\theta}{2}\big).
Tomando \theta=\omega b obtemos
1-e^{-i\omega b}=e^{-i\omega b/2}\,2i\sin\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big).
Substituindo na expressão da transformada,
\mathcal{F}\{f\}(\omega) = k\frac{e^{-i\omega b/2}\,2i\sin\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big)}{i\omega} = k\,e^{-i\omega b/2}\,\frac{2\sin\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big)}{\omega}.
Agora reescrevemos \dfrac{2\sin(\tfrac{\omega b}{2})}{\omega} multiplicando e dividindo por b:
\frac{2\sin\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big)}{\omega} = b\cdot\frac{\sin\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big)}{\tfrac{\omega b}{2}}.
Definindo a função sinc pelo usual \mathrm{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x} (com \mathrm{sinc}(0)=1 por limite), obtemos a forma compacta:
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\,b\,e^{-i\omega b/2}\,\mathrm{sinc}\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big).
Essa forma é válida para todo \omega se interpretarmos \mathrm{sinc}(0)=1; no caso \omega=0 recuperamos \mathcal{F}\{f\}(0)=k b.

Passo 7

Resumo do que fizemos (dicas para prova):
  • Reduza a integral ao suporte de f (aqui [0,b]).
  • Integre a exponencial complexa e trate o caso \omega=0 por limite (Taylor ou L’Hôpital).
  • Se quiser uma forma com amplitude e fase, use a identidade que transforma 1-e^{-i\omega b} em termos de \sin e um fator exponencial com -i\omega b/2. Isso dá a interpretação: módulo |\mathcal{F}\{f\}(\omega)|=|k b\,\mathrm{sinc}(\tfrac{\omega b}{2})| e fase -\tfrac{\omega b}{2}.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\frac{1-e^{-i\omega b}}{i\omega}
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=k\,b\,e^{-i\omega b/2}\,\mathrm{sinc}\!\big(\tfrac{\omega b}{2}\big)

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