-
,
se
se
,
se
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial e as condições iniciais/borda e pede a função
para
e
. Especificamente temos:
condições iniciais
e condição de contorno na fronteira
O objetivo é encontrar
que satisfaça a PDE e essas condições.
Passo 2
Vamos transformar o problema em uma equação ordinária em
aplicando a transformada de Laplace em
. Primeiro, lembro rapidamente a definição e propriedades que vou usar, de um jeito bem prático:
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada e consideramos a região de convergência
adequada (aqui usamos
).
Propriedades úteis (derivadas em
):
Essas fórmulas permitem transformar derivadas temporais em polinômios em
multiplicando a transformada
, usando os valores iniciais que já são dados (e aqui são zero, o que simplifica bastante).
Agora aplico a transformada de Laplace em
à equação PDE. Denoto
Como as condições iniciais são
e
, as transformadas das derivadas temporais ficam simples:
A transformada de
é
(a transformada é feita em
, então as derivadas em
passam para fora).
Passo 3
Aplicando a transformada à PDE obtemos a equação em
:
Colocando em evidência
:
Note que podemos fatorar o coeficiente:
Assim a equação fica
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem em
com coeficiente constante. Posso escrever
A solução geral dessa ODE é uma combinação de exponenciais:
Passo 4
Agora uso as condições na transformada. A condição de contorno em
dá
Portanto
Além disso, para termos uma solução física e que faça sentido para
(esperamos que a solução não exploda quando
cresce; além disso a transformada exige crescimento controlado em
), escolhemos a solução que decai para
. Para
temos
, então a função
cresce e
decai. Para evitar crescimento não físico tomamos
. Assim
Aplicando
obtemos
. Substituindo
obtemos
É conveniente separar a exponencial em duas partes:
Passo 5
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace. Vou usar a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do atraso):
Se
então
onde
é a função degrau de Heaviside e
é o atraso.
No nosso caso, tomo
porque
é exatamente
com
. Além disso há o fator
que não depende de
, então sai da inversão como multiplicativo. Sabendo que
aplico o teorema do atraso e obtenho
Escrevendo isso de forma clássica em peça por peça:
Passo 6
Vamos interpretar e checar rapidamente (sem provas formais, só para ganhar confiança):
- Para
temos , que coincide com a condição de contorno dada. Boa. - Para
e temos então , que coincide com a condição inicial . - A solução mostra uma onda que se propaga na direção positiva de
com velocidade no sentido que o valor em aparece apenas a partir de (ou seja, há um atraso ), e há amortecimento espacial (a amplitude decai exponencialmente com ). Esses números vêm diretamente dos coeficientes da PDE.
Você chegou aqui e fez direitinho: a técnica principal foi usar a transformada de Laplace em
para transformar a PDE em uma ODE em
, usar a condição em
e a condição de decaimento para determinar a solução transformada, e finalmente aplicar o deslocamento no tempo para inverter.