Encontre a transformada de Fourier de f(x)=x e^{-x} se x>0 e 0 se x<0 a partir da fórmula 5 na Tabela III e de (9) no texto. Sugestão: considere x e^{-x} e e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de f(x)\) definida por \[f(x)=\begin{cases} x e^{-x},& x>0,\\[4pt] 0,& x<0. \end{cases}
As informações relevantes são: f(x)\] é nula para \(x<0 e igual a x e^{-x} para x>0; a transformada de Fourier que usamos é a usual
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\omega x}\,dx,
e a sugestão do enunciado é considerar separadamente e^{-x} e x e^{-x}. Não há outras condições a pedir.]

Passo 2

Primeiro calculamos a transformada de g(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x>0} (ou seja, e^{-x} para x>0 e 0 para x<0). Escrevemos a integral da transformada:
\hat g(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(x)e^{-i\omega x}\,dx=\int_{0}^{\infty} e^{-x}e^{-i\omega x}\,dx.
Aqui juntamos os exponenciais no integrando: e^{-x}e^{-i\omega x}=e^{-(1+i\omega)x}. Então
\hat g(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)x}\,dx.

Passo 3

Agora usamos a fórmula básica de integral exponencial: para \Re(a)>0 vale
\int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx=\frac{1}{a}.
No nosso caso a=1+i\omega e \Re(1+i\omega)=1>0, logo podemos aplicar a fórmula e obter
\hat g(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}.
Explicação didática: a integral converge porque e^{-(1+i\omega)x}=e^{-x}e^{-i\omega x} tem fator e^{-x} que decai exponencialmente; a parte oscilatória e^{-i\omega x} não estraga a convergência.

Passo 4

Agora precisamos da transformada de f(x)=x e^{-x}\mathbf{1}_{x>0}. Em prova é útil lembrar a propriedade de derivada da transformada: se \hat h(\omega)=\int h(x)e^{-i\omega x}\,dx então, desde que possamos derivar sob o integral,
\frac{d}{d\omega}\hat h(\omega)=\int h(x)\frac{d}{d\omega}e^{-i\omega x}\,dx=\int h(x)(-i x)e^{-i\omega x}\,dx=-i\,\widehat{(x h)}(\omega).
Reorganizando, obtemos a fórmula prática
\widehat{(x h)}(\omega)=i\frac{d}{d\omega}\hat h(\omega).
Aqui h deve ser tal que as integrais e a diferenciação sob o sinal de integral sejam válidas; no nosso caso isso vale porque e^{-x}\mathbf{1}_{x>0} tem decaimento exponencial.

Passo 5

Aplicamos a propriedade do passo anterior com h(x)=e^{-x}\mathbf{1}_{x>0}. Já calculamos \hat h(\omega)=\dfrac{1}{1+i\omega}. Então
\widehat{(x e^{-x}\mathbf{1}_{x>0})}(\omega)=i\frac{d}{d\omega}\left(\frac{1}{1+i\omega}\right).
Calculemos a derivada cuidadosamente. Seja a(\omega)=1+i\omega. Então \dfrac{1}{a(\omega)} = -\dfrac{a'(\omega)}{a(\omega)^2}. Como a'(\omega)=i, temos
\frac{d}{d\omega}\left(\frac{1}{1+i\omega}\right)=-\frac{i}{(1+i\omega)^2}.

Passo 6

Multiplicando por i conforme a propriedade, obtemos
\widehat{(x e^{-x}\mathbf{1}_{x>0})}(\omega)=i\left(-\frac{i}{(1+i\omega)^2}\right)=\frac{1}{(1+i\omega)^2},
pois i\cdot(-i)=1. Assim chegamos ao resultado desejado.

Passo 7

Como checagem alternativa (útil em prova): podemos calcular diretamente a integral
\hat f(\omega)=\int_{0}^{\infty} x e^{-x}e^{-i\omega x}\,dx=\int_{0}^{\infty} x e^{-(1+i\omega)x}\,dx.
Fazendo integração por partes: defina u=x e dv=e^{-(1+i\omega)x}dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{1+i\omega}e^{-(1+i\omega)x}. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-(1+i\omega)x}\,dx=\left. -\frac{x}{1+i\omega}e^{-(1+i\omega)x}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{1+i\omega}\int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\omega)x}\,dx.
O termo de fronteira no infinito é zero por causa do fator e^{-x}; no zero anula-se porque multiplica x. Então restou
\hat f(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}\cdot\frac{1}{1+i\omega}=\frac{1}{(1+i\omega)^2},
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 8

Observações práticas para a prova: memorizando que \int_{0}^{\infty} e^{-a x}\,dx=1/a e que multiplicar por x no domínio corresponde a multiplicar por i e derivar no domínio da frequência (i.e., \widehat{xf}(\omega)=i\hat f'(\omega)) você resolve esses tipos de exercício muito rápido sem fazer integração por partes cada vez. No caso específico, como a=1+i\omega, o resultado simples é \dfrac{1}{(1+i\omega)^2}. Respire, você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(1+i\omega)^2}

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