(Revisão) Mostre que 1 / i=-i, e^{i x}+e^{-i x}=2 \cos x, e^{i x}-e^{-i x}=2 i sen x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três igualdades:
\frac{1}{i}=-i,\qquad e^{i x}+e^{-i x}=2\cos x,\qquad e^{i x}-e^{-i x}=2i\sin x
Lista das informações relevantes que temos à mão:
  • i é a unidade imaginária e satisfaz \;i^2=-1.
  • As equalidades acima devem valer para todo x\in\mathbb{R}.
    A resolução começa a seguir.

Passo 2

Mostrando que \dfrac{1}{i}=-i. Vou manipular a fração e usar que i^2=-1.
Calculo:
\frac{1}{i}=\frac{1\cdot i}{i\cdot i}=\frac{i}{i^2}.
Como i^2=-1, temos
\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i.
Explicação didática: multiplicar numerador e denominador por i é permitido porque estamos apenas multiplicando a fração por \dfrac{i}{i}=1. A alternativa de raciocinar por potências também funciona: i^{-1}=i^{3} já que i^4=1, e i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i; chega-se ao mesmo resultado.

Passo 3

Introduzindo a fórmula de Euler e por que ela vale (a parte teórica necessária). A forma que usamos é
e^{i x}=\cos x + i\sin x.
Uma maneira limpa de ver isso é através das séries de Taylor (isso é seguro sem calculadora e explica a origem da fórmula). As séries são:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},\qquad \cos x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Se substituirmos z=ix em e^{z} obtemos
e^{ix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ix)^{n}}{n!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k}}{(2k)!}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(ix)^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Agora use (ix)^{2k}=i^{2k}x^{2k}=(-1)^{k}x^{2k} e (ix)^{2k+1}=i^{2k+1}x^{2k+1}=i(-1)^{k}x^{2k+1}. Portanto
e^{ix}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}+i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}=\cos x + i\sin x.
Isso justifica a fórmula e nos dá explicitamente as partes real e imaginária de e^{ix}.

Passo 4

A expressão para e^{-ix}. Aplicando a fórmula de Euler com -x em lugar de x, e lembrando que \cos é par ( \cos(-x)=\cos x) e \sin é ímpar ( \sin(-x)=-\sin x), obtemos
e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x - i\sin x.
Essa é a expressão parceira de e^{ix} que vamos somar e subtrair.

Passo 5

Prova de \;e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x. Somando as duas expressões obtidas:
e^{ix}+e^{-ix}=(\cos x + i\sin x)+(\cos x - i\sin x).
As partes imaginárias i\sin x e -i\sin x se cancelam, sobrando
e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x.
Didática: somando exponenciais complexas conjugadas a parte imaginária some e a parte real dobra — por isso aparece 2\cos x.

Passo 6

Prova de \;e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x. Subtraindo as duas expressões:
e^{ix}-e^{-ix}=(\cos x + i\sin x)-(\cos x - i\sin x).
As partes reais \cos x se cancelam e as partes imaginárias se somam:
e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x.
Podemos reorganizar essa igualdade para escrever a fórmula clássica da função seno em termos de exponenciais:
\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
mas a igualdade pedida no enunciado é justamente \;e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x.

Resposta

\dfrac{1}{i}=-i
e^{i x}+e^{-i x}=2\cos x
e^{i x}-e^{-i x}=2i\sin x

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