(Revisão) Mostre que
sen
Passo 1
O enunciado pede para mostrar três igualdades:
Lista das informações relevantes que temos à mão:
-
é a unidade imaginária e satisfaz . - As equalidades acima devem valer para todo
.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Mostrando que
. Vou manipular a fração e usar que
.
Calculo:
Calculo:
Como
, temos
Explicação didática: multiplicar numerador e denominador por
é permitido porque estamos apenas multiplicando a fração por
. A alternativa de raciocinar por potências também funciona:
já que
, e
; chega-se ao mesmo resultado.
Passo 3
Introduzindo a fórmula de Euler e por que ela vale (a parte teórica necessária). A forma que usamos é
Uma maneira limpa de ver isso é através das séries de Taylor (isso é seguro sem calculadora e explica a origem da fórmula). As séries são:
Se substituirmos
em
obtemos
Agora use
e
. Portanto
Isso justifica a fórmula e nos dá explicitamente as partes real e imaginária de
.
Passo 4
A expressão para
. Aplicando a fórmula de Euler com
em lugar de
, e lembrando que
é par (
) e
é ímpar (
), obtemos
Essa é a expressão parceira de
que vamos somar e subtrair.
Passo 5
Prova de
. Somando as duas expressões obtidas:
As partes imaginárias
e
se cancelam, sobrando
Didática: somando exponenciais complexas conjugadas a parte imaginária some e a parte real dobra — por isso aparece
.
Passo 6
Prova de
. Subtraindo as duas expressões:
As partes reais
se cancelam e as partes imaginárias se somam:
Podemos reorganizar essa igualdade para escrever a fórmula clássica da função seno em termos de exponenciais:
mas a igualdade pedida no enunciado é justamente
.