Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
F(z)=z^3(z-1 / 4)^2(z-1) , 14<|z|<1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa bilateral de
F(z)=z^3(z-tfrac14)^2(z-1),
com região de convergência tfrac14<|z|<1.
Conteúdo: inversão de transformada Z bilateral usando divisão polinomial, frações parciais e expansão conforme ROC (parte causal para pólos com |z|>a e anticausal para pólos com |z|<b).

Passo 2

Fazemos divisão polinomial para reduzir grau do numerador abaixo do do denominador. Note que
(z-tfrac14)^2(z-1)=z^3-1,5,z^2+0,5625,z-0,0625,
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z^3(z-tfrac14)^2(z-1) =1+z^3-l(z^3-1,5z^2+0,5625z-0,0625r)(z-tfrac14)^2(z-1) =1+1,5z^2-0,5625z+0,0625(z-tfrac14)^2(z-1)

Passo 3

Decompondo em frações parciais
1,5z^2-0,5625z+0,0625(z-1)(z-tfrac14)^2 =Az-1+Bz-tfrac14+C(z-tfrac14)^2
Impondo z=1 A=16/9. Impondo z=tfrac14 C=-1/48. Igualando coeficientes em z^2 resulta B=-5/18. Assim
F(z) =1+16/9z-1-5/18z-tfrac14-1/48(z-tfrac14)^2

Passo 4

Invertemos cada termo, observando a região de convergência:
  • O termo 1 de<a[n].
  • 16/9z-1=-16911-z com |z|<1 expande em -169sumk>=0z^k, o que em tempo gera -169 para n<=0.
  • -5/18,z-tfrac14, com |z|>tfrac14 expande em -518sumk>=04^-kz^-k-1, gerando -tfrac5184^-(n-1) para n>=1.
  • -1/48(z-tfrac14)^2 com |z|>tfrac14 expande em -tfrac148sumk>=0(k+1)4^-kz^-k-2, gerando -tfrac148(n-1)4^-(n-2) para n>=2.

Passo 5

Somando tudo e reorganizando, obtemos para n<0
x[n]=-tfrac169,
e para n>=0 (incluindo n=0,1)
x[n] =-518,4^-(n-1) -148(n-1),4^-(n-2) +de<a[n],
o que se simplifica em
x[n]=-3n+79;4^-n, n>=0

Resposta

Para todo inteiro n:
x[n]= -169,&n<0,[6pt] -dfrac3n+79;4^-n,&n>=0
Ou de forma compacta, usando funções degrau:
x[n] =-169,u[-n-1] -3n+79,4^-n,u[n]
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