Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
G(z)=-z(z-1 / 2)(z-2) , g(k)=0 para k<0

Passo 1

O enunciado pede a transformada– Z inversa de
G(z)=-z(z-tfrac12)(z-2),
sabendo que g(k)=0 para k<0.
Conteúdo: para sequências causais (ROC lvert zrvert> maior pólo) usamos decomposição em frações parciais e expansão em potências de z^-1.

Passo 2

Fazemos a decomposição
-z(z-tfrac12)(z-2)=Az-tfrac12+Bz-2
Multiplicando ambos os lados por (z-tfrac12)(z-2)
-z=A,(z-2)+B,(z-tfrac12)
Para z=tfrac12:
-tfrac12=A(-tfrac32)implies A=tfrac13
Para z=2:
-2=B(tfrac32)implies B=-tfrac43

Passo 3

Como a sequência é causal, a ROC é lvert zrvert>2, e usamos
1z-a=1z,11-tfracaz =sumn=0^inftya^n,z^-n-1,
válido para lvert zrvert>lvert arvert.
Logo
Az-tfrac12 =13sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n z^-n-1, Bz-2 =-43sumn=0^infty 2^n,z^-n-1

Passo 4

Somando as duas séries obtemos
G(z) =sumk=1^inftyl[tfrac13l(tfrac12r)^,k-1 -tfrac432^,k-1r]z^-k
Não há termo em z^0, logo g(0)=0. Para k>=1:
g(k) =13l(tfrac12r)^,k-1 -432^,k-1
Podemos reescrever em forma única válida já para k>=0:
g(k) =23l[(tfrac12)^k-2^kr], g(k)=0;para k<0

Resposta

g(k)= 23l[(tfrac12)^k-2^kr],&k>=0, 0,&k<0

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