Encontre a transformada
inversa das expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de
O conteúdo aqui é inversão da transformada de
para um sinal anti-causal (ROC interna), usando frações parciais e séries geométricas em potências positivas de
.
Passo 2
Primeiro fazemos a divisão de polinômios para separar a parte polinomial de uma fração própria:
Em seguida decompomos a fração própria em frações parciais:
Resolvendo
vem
e
. Logo
Passo 3
Reescrevemos cada termo na forma
para usar série geométrica válida em
:
Assim
e portanto
Passo 4
Expandimos cada termo em série de potências de
, lembrando que para
vale também
:
O termo
equivale a
. Somando tudo, para
o coeficiente de
é
Passo 5
Como a definição padrão é
uma potência
corresponde a
. Logo para
temos
e para
não há termos em
, isto é,
.
Resposta
Para todo
Em forma compacta,