Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
A(z)=z^2(z-1 / 2)(z-1 / 3),|z|<13

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
A(z)=z^2(z-tfrac12)(z-tfrac13), ROC: |z|<tfrac13
O conteúdo aqui é inversão da transformada de Z para um sinal anti-causal (ROC interna), usando frações parciais e séries geométricas em potências positivas de z.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios para separar a parte polinomial de uma fração própria:
z^2(z-tfrac12)(z-tfrac13) =1+tfrac56,z-tfrac16(z-tfrac12)(z-tfrac13)
Em seguida decompomos a fração própria em frações parciais:
tfrac56,z-tfrac16(z-tfrac12)(z-tfrac13) =Az-tfrac12+Bz-tfrac13
Resolvendo
A+B=tfrac56, A3+B2=16
vem A=tfrac32 e B=-tfrac23. Logo
A(z)=1+tfrac32z-tfrac12-tfrac23z-tfrac13

Passo 3

Reescrevemos cada termo na forma tfrac11-a,z para usar série geométrica válida em |z|<tfrac13:
1z-tfrac12 =-21-2z, 1z-tfrac13 =-31-3z
Assim
tfrac32z-tfrac12 =-31-2z, -tfrac23z-tfrac13 =+21-3z,
e portanto
A(z) =1-31-2z+21-3z

Passo 4

Expandimos cada termo em série de potências de z, lembrando que para |z|<tfrac13 vale também |z|<tfrac12:
-31-2z =-3sumk=0^infty(2z)^k =-3sumk=0^infty2^kz^k,
21-3z =2sumk=0^infty(3z)^k =2sumk=0^infty3^kz^k
O termo 1 equivale a sumk=0^inftyde<ak0z^k. Somando tudo, para k>=0 o coeficiente de z^k é
de<ak0-3cdot2^k+2cdot3^k ;=; -3cdot2^k+2cdot3^k (pois para k=0 dá 1-3+2=0) á

Passo 5

Como a definição padrão é
A(z)=sumn=-infty^inftyx[n],z^-n,
uma potência z^k corresponde a n=-k. Logo para k>=0 temos
x[-k]=-3cdot2^k+2cdot3^k,
e para n>0 não há termos em z^-n, isto é, x[n]=0.

Resposta

Para todo ninZ
x[n]= 2cdot3^-,n;-;3cdot2^-,n,&n<=0, 0,&n>0
Em forma compacta,
x[n]=l(2cdot3^-n-3cdot2^-nr),u[-n]

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