Encontre semi-infinita positiva se

Passo 1

O enunciado pede a sequência causal x[k] (ou seja, definida para k>=0) cuja transformada de Z é
X(z)=1z^2-z+tfrac12
O conteúdo aqui é: fazer o inverso da transformada de Z por frações parciais e usar a expansão em potências de z^-1.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. As raízes de
z^2-z+tfrac12=0
são
z=1pmraiz1-22 =1pm j2
Chamemos
p1=1+j2, p2=1-j2,
cuja magnitude é lvert p1rvert=lvert p2rvert=1/raiz2.

Passo 3

Fazemos frações parciais:
1(z-p1)(z-p2) =Az-p1+Bz-p2
Multiplicando por (z-p1)(z-p2) em ambos os lados e avaliando em z=p1 e z=p2, obtemos
A=1p1-p2=1j=-j, B=-1p1-p2=-1j=j
Logo
X(z)=-jz-p1+jz-p2

Passo 4

Para cada termo usamos a expansão em potências de z^-1, válida em lvert zrvert>tfrac1raiz2:
1z-p =z^-11-p,z^-1 =sumn=0^inftyp^n,z^-(n+1)
Assim
-jz-p1 =-jsumn=0^inftyp1^nz^-(n+1), jz-p2 =jsumn=0^inftyp2^nz^-(n+1)
Somando,
X(z) =sumn=0^inftyl[-j,p1^n+j,p2^nr],z^-(n+1) =sumk=1^inftyl[-j,p1^,k-1+j,p2^,k-1r],z^-k
Da comparação com X(z)=sumk=0^infty x[k],z^-k vem
x[0]=0, x[k]=-j,p1^,k-1+j,p2^,k-1, k>=1

Passo 5

Como p2=p1, podemos obter uma forma real usando
p1=1+j2=1raiz2e^jpi/4,
resultando em
x[k] =2l(tfrac1raiz2r)^,k-1 sin!l(tfrac(k-1)pi4r), k>=1,
e x[0]=0. Para compactar com a função de passo unitário u[k], escrevemos
x[k] =2l(tfrac1raiz2r)^,k-1 sin!l(tfrac(k-1)pi4r),u[k-1]

Resposta

boxed x[k]= 0,&k=0, 2l(tfrac1raiz2r)^,k-1 sin!l(tfrac(k-1)pi4r),&k>=1

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