Encontre a transformada Z inversa das expressões abaixo:
B(z)=z^2(z-1 / 2)(z-1 / 3), 13<|z|<12

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z inversa de
B(z)=z^2(z-tfrac12)(z-tfrac13), tfrac13<|z|<tfrac12
O conteúdo aqui é decompor B(z) em frações parciais, identificar para cada termo se a expansão em série de potências de z^-1 é à direita (sequência causal) ou à esquerda (sequência anti-causal), e então usar pares usuais de transformada Z.

Passo 2

Primeiro observamos que o numerador tem grau igual ao denominador, então dividimos polinômios:
(z-tfrac12)(z-tfrac13) =z^2-tfrac56z+tfrac16,
z^2z^2-tfrac56z+tfrac16 =1+tfrac56z-tfrac16(z-tfrac12)(z-tfrac13)

Passo 3

Fazemos frações parciais em
tfrac56z-tfrac16(z-tfrac12)(z-tfrac13) =Az-tfrac12+Cz-tfrac13
Isto leva ao sistema
A+C=tfrac56, A3+C2=tfrac16,
cuja solução é A=tfrac32, C=-tfrac23. Logo
B(z) =1+tfrac32,z-tfrac12, -tfrac23,z-tfrac13,

Passo 4

Agora identificamos o ROC de cada termo:
  • O termo 1 tem transformada inversa de<a[n].
  • Para 3/2z-tfrac12, como o ROC geral exige |z|<tfrac12, expandimos em potências de z e obtemos sequência anti-causal:
1z-tfrac12 =-1tfrac12sumk=0^inftyl( ztfrac12r)^k =-sumk=0^infty(2)^k+1z^k,
isto é, em termos de z^-n:
1z-tfrac12 =-sumn=0^-inftyl(tfrac12r)^n-1z^-n,
portanto
3/2z-tfrac12 =-3l(tfrac12r)^n(n<=0)
  • Para -2/3z-tfrac13, como o ROC inclui |z|>tfrac13, expandimos em potências de z^-1 e obtemos sequência causal:
1z-tfrac13 =1/z1-tfrac13/z =sumk=0^inftyl(tfrac13r)^kz^-k-1,
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-2/3z-tfrac13 =-2l(tfrac13r)^n (n>=1)

Passo 5

Somando todas as partes, a sequência bilateral b[n] é
b[n] =de<a[n] -3l(tfrac12r)^nu[-n] -2l(tfrac13r)^nu[n-1]
Em forma piecewise:
b[n]= -3l(tfrac12r)^n,&n<0, -2,&n=0, -2l(tfrac13r)^n,&n>0

Resposta

b[n] =de<a[n] -3l(tfrac12r)^nu[-n] -2l(tfrac13r)^nu[n-1]

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